REMEDIAL PAT

NAMA : ALYSIA KHARLOTTA

KELAS : X IPS 2

NO. ABSEN : 03

REMEDIAL PAT

1. Nyatakan sudut 0,75 radian dan 0,35 radian ke dalam satuan derajat !

Jawaban :

Sudut 0,35 dalam derajat adalah

= 0,35 • 360

= 126

Sudut 0,75 dalam derajat adalah

= 0,75 • 360

= 270

2. Nyatakan besar sudut berikut ke dalam satuan radian ! a. 45° 15' 25", b. 330° 25'

Jawaban :

3. Seorang pilot pesawat melihat puncak gunung dari ketingian 1200 m. Apabila sudut depresi (sudut lihat pilot terhadap arah mendatar) sebesar 30°, maka : a. Gambarkan sketsa puncak gunung, posisi pesawat dan ketinggian dari tanah. b. Tentukan jarak pesawat ke puncak gunung.

Jawaban :

a. Sketsa puncak gunung, posisi pesawat dan ketinggian dari tanah seperti di bawah ini.

AB adalah ketinggian dari tanah

AD adalah jarak pesawat ke puncak gunung

Sudut CAD adalah sudut depresi.

b. Jarak pesawat ke puncak gunung dapat dicari dengan menerapkan trigonometri.

tan = y/x

tan 30° = CD/AD

1/3√3 = 1200 m/x

x = 1200 m/1/3√3

x = 1200 m x 3/√3 x √3/√3

   = 1200 m x √3

   = 1200√3 cm

Nilai x = 1200√3 cm. Dengan demikian, jarak pesawat ke puncak gunung adalah 1200√3 cm.

4. Dua anak mengamati puncak pohon dari tempat yang berseberangan seperti tampak pada gambar di bawah ini. Apabila anak pertama melihat dengan sudut elevasi 60° dan anak kedua dengan sudut elevasi 30° dan jarak kedua anak tersebut 200 m. Tentukan tinggi pohon tersebut !

Jawaban :

AC = BC . COS 30° 

      = 200. 1/2 √3

      = 100 √3 m

AB= BC . COS 60° 

    = 200 . 1/2 

    = 100 m

t= AB . COS 30° 

 = 100 . 1/2 √3

 = 50 √3 m

Jadi tinggi pohon 50 √3 m

5. Sebuah tangga disandarkan pada suatu pohon kelapa yang batangnya lurus dan mempunyai buah siap panen. Sudut yang dibentuk oleh tangga itu dengan tanah (horizontal) adalah 60°. Jarak kaki tangga ke batang pohon kelapa hingga dapat meraih buah adalah 5 m, hitunglah jarak lintasan yang ditempuh seseorang untuk dapat mengambil buah pohon kelapa tersebut.

Jawaban :

untuk mencari sisi miring : 

sin(60) = 5/x

x = 5/sin(60)

x = 5/√3/2 

x = 5 x 2/√3

x = 10√3/3 cm

6. Segitiga ABC siku-siku di C. Apabila sin A = 0.5, tentukan : a. cos A dan tan A b. sec A dan cot A

Jawaban :

A. Cos A = b/c = √3/2 = 1/2 √3

Tan A = a/b = 1/√3 = 1/3√3 

B. Sec A = 1/Cos A = 1/ b/c = c/b = 2√3  = 2√3/3

Cot A = 1/Tan A = 1/ a/b = b/a = √3/1 = √3

7. Diketahui segitiga ABC siku-siku di B, jika panjang AC adalah 8 cm, dan ∠ A = 30°. Hitunglah panjang AB dan BC.

Jawaban :

Panjang AB DAN BC

  AB : AC = √3 : 2

  AB : 8    = √3 : 2

        2.AB = 8.√3

           AB =[8√3] /2

           AB = 4√3 cm

BC : AC    = 1 : 2

BC : 8       = 1 : 2

       2.BC  = 8 . 1

          BC  = 8/2

                 = 4 CM

8. Jika diketahui titik-titik koordinat sebagai berikut : a. P (-6, 6√3) b. P (6√3, 60°). Ubahlah menjadi koordinat cartesius atau koordinat kutub !

Jawaban :

a.  P (-6 , 6√3) -> x negatif, y positif (kuadran 2)

r = √(x^2 + y^2)

r = √((-6)^2 + (6√3)^2)

r = √(36 + 108)

r = √144

r = 12

tan α = y/x

tan α = (6√3)/-6

tan α = -√3

α = 120°

koordinat kutub = (12 , 120°)

b. P (6√3 , 60°)

r = 6√3

α = 60°

x = r . cos α = 6√3 . cos 60° = 6√3 . 1/2 = 3√3

y = r . sin α = 6√3 . sin 60° = 6√3 . 1/2√3 = 9

koordinat cartesius = (3√3 , 9)

9. Diketahui tan 25 = p, maka tentukan nilai dari tan 205° - tan 115°/tan 245° + tan 335°

Jawaban :

 tan (180+25) - tan (90+25)

        -------------------------------------------

        tan (270-25) + tan (360°-25)

 = tan 25 + cot 25           p + 1/p

    ------------------------    =   -------------

    cot 25 - tan 25           1/p - p

= p²+1

   --------

      p

  ---------

    1-p²

  ---------

      p

= p²+1

   -------

   1-p²

=     p²+1

   ----------------

   (1+p) (1-p)

10. tan x = 1/2 maka nilai dari 2 sin x + sin (x + 1/2π) + cos (π - x) =

Jawaban :

tan x = 1/2.

r^2=1^2+2^2

r^2 = 1 + 4

r^2 = 5

r = √5

sin x = 1/√5

COS X = 2/√5

2 sin x + sin (x + π/2) + cos (π-x)

= 2 sin x + (sin x cos π/2 + cos

x .sin.π/2) + (cos π cos x + sin π sin x)

= 2 sin x + ( sin x.0 + cos x .1) + (-1.cos x + = O.sin.x)

=2sin x + cos x - cos x

= 2 sin x

= 2(1/√5)

= 2/√5

= (2/5)√5.

11. Jika X di kuadran II dan tan x = a, maka tentukan nilai sin (90+x)

Jawaban :

Sin (90° + x) = Sin 90° . Cos x + Cos 90° . Sin x

                      = (1) . Cos x + (a) . Sin x

                      = COS x

12. Jika cot 54° = 1/x, maka cot 36° = 

Jawaban :

Tan 36/cot 54 = cot(90 - 36)

                        = cot 54.

cot54/cot54 = 1.

13. cos 1200° =

Jawaban :

Letak sudut 1200° berada pada kuadran IV, sehingga nilai cosinus positif.
cos 1200°
= cos (4 x 360 - 240)°
= cos 240°
= cos (270 - 30)°
= -sin 30°

14. sin 270. cos 135. tan 135 / sin 150. cos 225 =

Jawaban :

(sin 270 cos 135 Tan 135) / (sin 150 cos 225)

= ( (-1) (-✓2 / 2) 1) / (1/2 x - ✓2/2)

=(✓2/2) / ✓2 / 4

=✓2 / x 4 / ✓2

=2

15. tan (-45°) + sin 120° + cos 225° - cos 30° =

Jawaban :

tan (-45°) + sin 120° + cos 225°- cos 30°

= - tan 45° + sin 120° + cos 225° - cos 30°

= -1 + 1/2 √3 - 1/2 √2 - 1/2 √3

= -1 - 1/2 √2

16. Diketahui tan x = 2,4 dengan x berada di kuadran III. Nilai cos x adalah ...

Jawaban : 

Dik :

Tan x = 2,4

Kuadran III

Dit :

Cos x =....?

Jawab :

Tan x = 2,4 = 12/5

Tan = sisi depan/sisi miring

Sisi depan = 12

Sisi miring = 5

Cos = sisi samping/sisi miring

Sisi miring = √sisi depan ²+sisi samping²

=√12²+5²

=13

Karena di kuadran 3 hanya tan yang + maka cos dari 5/13 jadi -5/13

17. Diberikan segitiga sembarang ABC seperti pada gambar dibawah ini! tentukan panjang sisi AC

\

Jawaban :

AC / sin C = AB / sin B

AC / 60° = 12 / 45°

AC / 1/2 √3 = 12 / 1/2 √2

AC / √3 = 12 / √2

AC = 12√3 / √2

AC = 12√6 / 2

AC = 6√6

18. Pada awalnya, Menara Pisa dibangun dengan ketinggian 56m. Ternyata tanah di lokasi pembangunan menara rentan akan kerapuhan, sehingga terjadi kemiringan. Pada jarak 44m dari dasar menara diperoleh sudut elevasi 55°, tentukan derajat kemiringan menara dari posisi awalnya !

Jawaban :

Dengan demikian, besar sudut A = 180^o – (B + C)  atau sudut A = 85^o

Jadi, derajat kemiringan Menara Pisa adalah x = 90^o – 85^o = 5^o.

19. Jalan K dan jalan L berpotongan di kota A . Dinas tata kota ingin untuk menghubungkan kota B dengan kota C dengan membangun jalan M yang memotong kedua jalan yang ada (seperti gambar dibawah). Jarak antara kota A dan kota C adalah 5km, dan sudut yang dibentuk oleh jalan M dan jalan L sebesar 75°, sedangkan sudut yang dibentuk oleh jalan K dan jalan M adalah 30°. Tentukan jarak kota A dan kota B !

Jawaban :

Diketahui:

Jalan k dan jalan l berpotongan di kota A

Jalan m memotong jalan k dan jalan l.

Jarak kota A dan kota C = 5 km

Sudut yang dibentuk jalan m dengan jalan l = 70°

Sudut yang dibentuk jalan k dengan jalan m = 30°

sin 70° = 0,94

Ditanya: jarak kota A dengan kota B

Jawab:

Pada aturan sinus trigonometri berlaku aturan berikut:

 =  = 

dengan:

a = panjang BC

b = panjang AC

c = panjang AB

Dari soal diketahui sudut yang dibentuk jalan m dengan jalan l = sudut C dan sudut yang dibentuk jalan m dengan jalan k = sudut B. Maka diperoleh jarak kota A dengan kota B diperoleh sebagai berikut:

jarak kota A dengan kota B = panjang AB = c

dengan mengunakan aturan sinus diperoleh:

 = 

 = 

5 × sin 70° = c × sin 30°

5 × sin 70° = c × 

2 × 5 × sin 70° = c

c = 10 × 0,94

c = 9,4

∴ Jadi jarak kota A dengan kota B adalah 9,4 km.

20. Diberikan segitiga ABCD seperti pada gambar disamping. Luas ABCD adalah

Jawaban :

Panjang BD pada segitiga ABD!

BD = √AB² + AD² = √12² + 5² = 13

Menentukan luas segitiga ABD dan BDC :

Luas ABD = 1/2 x AB x AD

                  = 1/2 x 12 x 5 

                  = 30 

Luas BDC = 1/2 x DB x DC x Sin ∠BDC

                  = 1/2 x 13 x 10 x Sin ∠ 60°

                  = 1/2 x 13 x 10 x 1/2√3

                  = 65/2 x √3

Menentukan Luas ABCD :

Luas ABCD = Luas ABD + Luas BDC

                     = 30 + 65/2√3

21. Pada sebuah segitiga ABC diketahui bahwa  ∠ A = 30° dan ∠ B = 60°, jika panjang sisi a + c = 9cm, maka panjang sisi b adalah ....

Jawaban :

.dik= <a = 30⁰

               <b = 60⁰

                a+c = 9cm

Dit= 6 =........?

 

JAWAB=

a+c = 9cm

4+5 = 9cm

b=√5² - 4²

  =√25 - 16

  =√9

b= 3cm

22. Diketahui segitiga ABC dengan panjang b = 2cm, c = 3cm dan  ∠A = 60°. Maka tentukan panjang sisi a !

Jawaban :

a²= b²+c²-2bc cos a

          = 2²+3²-2.(2).(3) cos 60°

          = 4+9-12.⅓

          = 13-6

      a²= 7

       a = √7

23. Titik A dan C merupakan titik-titik ujung sebuah terowongan yang dilihat dari titik B dan besar sudut penglihatan ∠CBA = 60° , jika panjang AB = 2x meter dan BC = 3x² meter, maka tentukan  panjang terowongan !

Jawaban :

AB = c = 2x m

BC = a = 3/2x m

AC = b

Nilai b dapat dihitung dengan menggunakan aturan kosinus. 

b² = a² + c² - 2 . a . c . cos ∠ B

    = (3/2x)² + (2x)² - 2 (3/2x) (2x) cos 60°

    = 9/4x² + 4x² - 6x² . 1/2

    = 6 1/4x² - 3x² = 3 1/4x² = 13/4x²

Jadi, b  = x/2√13 = 1/2√13x meter.

24. Dua buah kapal tanker berangkat dari titik yang sama dengan arah berbeda sehingga membentuk sudut 60°. Kapal pertama bergerak dengan kecepatan 30km/jam dan  kapal kedua bergerak dengan kecepatan 25km/jam, tentukan jarak kedua kapal setelah berlayar selama 2 jam perjalanan!

Jawaban :

Diketahui : 

sudut terbentuk = 60°

Kapal 1 = 30 km/jam

Kapal 2 = 25 km/jam

Jawab

AB 30 km/jam x 2 jam perjalanan = 60 km 

AC 25 km/jam x 2 jam perjalanan = 50 km

a2 = b2+c2 - 2bc cos a

      = 50(2) + 60(2) - 2 x 50 x 60 x cos 60

      = 2500 + 3600- 600 x 12

      = 4100 - 300

      = 3800

Jadi jarak antara dua kapal tersebut setelah berjalan 2 jam adalah 3800 km

25. Diberikan segitiga ABC dengan panjang AC = 6 cm, BC = 8 cm, dan besar sudut C sebesar 30°. Luas segitiga ABC adalah ....

Jawaban :

luas = AC x BC x sin c/2

       = 6 x 8 x sin 30⁰/2

       = 24 x 1/2

       = 12 cm²

26. Sebuah kapal berlayar kearah timur sejauh 30km. kemudian kapal melanjutkan perjalanan dengan arah 30° sejauh 60km. Tentukan jarak terhadap posisi kapal berangkat ...

Jawaban :

Misal posisi kapal mula-mula adalah di A.
Bergerak ke timur sejauh 30 km ke B
(AB = 30 km)

Kemudian menuju ke C sejauh 60 km dengan arah 30°
(BC = 60 km)

sehingga diperoleh sudut B pada segitiga ABC adalah 90° + 30° = 120°

cos 120°
= cos (180° - 60°)
= - cos 60°
= -1/2

Ditanyakan : Jarak Kapal dari A ke C
= AC = .... km

Jawab :
Dengan aturan kosinus diperoleh rumus :
AC² = BC² + AB² - 2 . BC . AB cos B
AC² = 60² + 30² - 2 . 60 . 30 cos 120°
AC² = 3600 + 900 - 2 . 1800 (-1/2)
AC² = 3600 + 900 + 1800
AC² = 6300
AC = √6300
AC = √900 . √7
AC = 30 √7

Jadi jarak kapal dari tempat pemberangkatan (awal) ke pemberhentian (akhir) adalah 30 √7 km.

27. Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AB = 9cm, AC =  8cm dan BC = 7cm. Nilai Sin A adalah ....

Jawaban :

Pakai aturan cosinus
BC² = AB² + AC² - 2 • AB • AC cos A
7² = 9² + 8² - 2 • 9 • 8 cos A
49 = 81 + 64 - 144cos A
49 = 145 - 144cos A
144cos A = 145 - 49
144cos A = 96
cos A = 96/144
cos A = ⅔

cos = samping/miring

samping = 2
miring = 3

maka : 
depan = √(miring² - samping²)
depan = √(3² - 2²)
depan = √(9 - 4)
depan = √5

sin A = depan/miring
sin A = (√5)/3

Jadi, nilai dari sin A adalah (√5)/3

28. Diketahui segitiga ABC dengan ∠ C= 30°, AC = 2a dan BC =2a√3. Maka panjang AB adalah ....

Jawaban :

AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2AC•BC•cosC

AB^2 = (2a)^2 + (2a akar3)^2 - 2(2a)(2a akar3)cos30°

AB^2 = 4a^2 + 12a^2 - 8a^2 akar3 (1/2 akar3)

AB^2 = 16a^2 - 12a^2

AB^2 = 4a^2

AB^2 = (2a)^2

AB = 2a

29. Sebuah segitiga ABC dengan panjang AB = 8cm, BC = 13cm dan AC = 15cm. jika x adalah sudut yang dibentuk antara sisi AB dan AC, maka nilai Sin x....., Tan x ....

Jawaban :

BC^2=AB^2+AC^2-2.AB.AC.Cos x

13^2=8^2 +15^2 - 2.8.15 cos x

169=64+225-240 cos x

240 coz x=64+225-169

cos x=120/240=1/2

cos x=cos 60

x =60°

sin x =sin 60° =1/2 √3

cos x =cos 60° =1/2

tan x = tan 60° =√3

30. Tentukan panjang sisi-sisi segitiga disamping

Jawaban :

PQ = √PR² + RQ²

x + 1 = √(x - 1)² + (2√x + 2)²

x + 1 = √x² - 2x + 1 + 4 (x + 2) 

x + 1 = √x² - 2x + 1 + 4x + 8

(x + 1)² = (√x² + 2x + 9)²

x² + 2x + 1 = x² + 2x + 9

x² - x² + 2x - 2x + 1 - 9 = 0

0 = 0 > ∆ siku siku

misal x = 2

maka PR = x - 1 = 2 - 1 = 1 cm

          RQ = 2√x + 2 = 2√2 + 2

                                 = 2√4 = 2 . 2 = 4

          PQ = x + 1 = 2 + 1 = 3

31. Diberikan segitiga ABC dengan panjang AC = 6cm, BC = 8cm dan besar sudut C sebesar 30°. Luas segitiga ABC adalah ....

Jawaban :

L segitiga = 1/2 × AC × BC × sin 30

= 1/2 × 6 × 8 × 1/2

= 1/2 × 48 × 1/2

= 1/2 × 24

L segitiga = 12 cm²

32. Diketahui grafik fungsi y1 = 5 sin x dan y2 = sin 5x. amplitudo y1 = ....

Jawaban :

 y1=1/2 (5-(5))

     =1/2 (10)

33. Persamaan grafik fungsi trigonometri pada gambar dibawah ini adalah .....

Jawaban :

Amplitudo = ± 1

Pergeseran = 30° (kekanan)

Karena grafik awal merupakan minumum maka grafik CoS sehingga Amplitudo = -1, Persamaan -> y = -CoS (2x - 30°)

34. Gambarkan grafik fungsi y = tan x - 2, untuk 0 ≤ x ≤ 2π ......

Jawaban :

35. Gambarkan grafik y = 2Sin 3(x - 30°) untuk 0 ≤ x ≤ 180° .....

Jawaban :

36. Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi y = -3/2 Cos ( x + 1/4π ) + 1

Jawaban :

⅔cos(x+¼) = cos(x-¼)

⅔(cos x.cos  - sin x.sin¼) = cos x.cos¼- sin x.sin¼

⅔(cos x. 1/2 akar 2 - sin x. 1/2 akar

 ⅔) = cos x. ½akar2⅔+ sin x. 1/2 akar2

dibagi 1/2 akar ⅔

2cos x - 2sin x = cos x + sin x

cos x = 3 sin x

1/4= sin x / cos x

1/4 = tan x

37. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi y = 5 Cos 3x adalah ....

Jawaban :

y = 3. cos 2x - 2

nilai maks terjadi saat cos 2x = 1 untuk x = 0°

y.maks = 3 . 1 - 2

= 3 - 2

= 1

nilai minimum terjadi saat cos 2x = - 1 untuk 2x = 180°

x = 90°

y.min = 3 (- 1) - 2

= - 3 - 2

= - 5

38. Periode dari fungsi y = 2 sin (3x - 30°) adalah ......

Jawaban :

Periode dari fungsi y = 2 sin (3x - 30°) adalah 

Jawab:

2π/3

Penjelasan dengan langkah-langkah:

y = k cos (ax +b) periodenya adalah p = 2π/a

y = - 2 cos (3x +π/2) periodenya adalah p = 2π/3

39. Persamaan grafik di bawah ini adalah y = a cos kx, dengan 0°≤ x ≤ 120°, maka nilai a dan k berturut-turut adalah ......

Jawaban :

y = a cos kx

(0,2) ---> 2= a . cos k (0°)

                2 = a . cos (0°)

                2 = a

y = 2 . cos kx

(60°, -2) ----> -2 = 2 . cos k . 60°

                      Cos k . 60° = -1 = cos 180°

                             k . 60° = 180°

                                      k = 3

40. Perhatikan grafik dibawah ini! Periode grafik fungsi  disamping adalah ........

Jawaban :