SOAL DAN PEMBAHASAN FUNGSI TRIGONOMETRI

NAMA : ALYSIA KHARLOTTA

KELAS : X IPS 2

NO. ABSEN : 03

SOAL DAN PEMBAHASAN FUNGSI TRIGONOMETRI

1. Diketahui grafik fungsi $y_1=5\sin x$ dan $y_2=\sin 5x$. Pernyataan berikut yang benar adalah $\cdots \cdot$

A. periode $y_1$ = periode $y_2$
B. amplitudo $y_1$ = amplitudo $y_2$
C. periode $y_1=\frac{1}{5}$ kali periode $y_2$
D. amplitudo $y_1=\frac{1}{5}$ kali amplitudo $y_2$
E. amplitudo $y_1=5$ kali amplitudo $y_2$

Pembahasan

Bentuk umum fungsi sinus tersebut adalah $y=a\sin kx$.
Periode:
Periode $y_1=5\sin x$ dengan $k=1$ adalah $P_1=\frac{{360}^{\circ }}{1}={360}^{\circ }$, sedangkan periode $y_2=\sin 5x$ dengan $k=5$ adalah $P_2=\frac{{360}^{\circ }}{5}={72}^{\circ }$.
Dapat disimpulkan bahwa periode $y_1$ sama dengan 5 kali periode $y_2$.
Amplitudo:
Amplitudo $y_1=5\sin x$ dengan $a=5$ adalah $A_1=|a|=|5|=5$, sedangkan amplitudo $y_2=\sin 5x$ dengan $a=1$ adalah $A_2=|a|=|1|=1$. Dapat disimpulkan bahwa amplitudo $y_1$ 5 kali amplitudo $y_2$.
Pernyataan yang benar ada pada pilihan E.

2. Grafik di atas adalah grafik fungsi 

$\cdots \cdot$
A. $f\left(x\right)=\frac{1}{2}\sin \frac{1}{2}x$
B. $f\left(x\right)=\frac{1}{2}\sin 2x$
C. $f\left(x\right)=\frac{1}{2}\cos 2x$
D. $f\left(x\right)=2\cos \frac{1}{2}x$
E. $f\left(x\right)=2\cos 2x$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Grafik di atas merupakan modifikasi grafik cosinus (karena grafiknya dimulai dari sumbu-$Y$) dengan bentuk umum $f\left(x\right)=a\cos kx$.
Grafik juga menunjukkan bahwa nilai maksimum fungsinya $\frac{1}{2}$, sedangkan nilai minimumnya $-\frac{1}{2}$, sehingga
$\begin{array}{cc}a& =\frac{\text{N. Maksimum}-\text{N. Minimum}}{2}\\ & =\frac{\frac{1}{2}-(-\frac{1}{2})}{2}=\frac{1}{2}\end{array}$
Saat $x=0^{\circ }$, nilai fungsinya $\frac{1}{2}$, lalu berulang kembali di $x=\pi$, sehingga periodenya $\pi$. Dengan demikian, $k=\frac{2\pi }{\text{Periode}}=\frac{2\pi }{\pi }=2$.
Jadi, grafik fungsi di atas adalah grafik fungsi $f\left(x\right)=\frac{1}{2}\cos 2x$
(Jawaban C)

3. Persamaan untuk kurva di samping adalah ….

(A) y=−2tan2x
(B) y=−2tanx
(C) y=−2tan12x
(D) y=2tan2x
(E) y=2tanx

Dari grafik dan opsi dapat kita tentukan untuk sementara persamaan grafik fungsi tersebut adalah y=2tankx.
Periode (p) dimulai dari −π4 sampai π4 maka:
p=π4−(−π4)⇔p=π2
Ingat periode fungsi tangen adalah:
=πk
Jadi, persamaan grafik tersebut adalah y=2tankx⇔y=2tan2x
Jawaban: D

4. Diketahui 

$f\left(x\right)=\cos x+3$ dengan $0\le x\le 2\pi$. Daerah hasil fungsi $f\left(x\right)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-3\le f\left(x\right)\le 3$              D. $0\le f\left(x\right)\le 3$
B. $-2\le f\left(x\right)\le 2$              E. $2\le f\left(x\right)\le 4$
C. $-1\le f\left(x\right)\le 1$

Pembahasan

Agar $f\left(x\right)=\cos x+3$ mencapai maksimum, maka $\cos x$ haruslah sebesar-besarnya, yaitu $\cos x=1$. Untuk itu,
$f_{\text{maks}}\left(x\right)=1+3=4$
Agar $f\left(x\right)=\cos x+3$ mencapai minimum, maka $\cos x$ haruslah sekecil-kecilnya, yaitu $\cos x=-1$. Untuk itu,
$f_{\text{min}}\left(x\right)=-1+3=2$
Jadi, daerah hasil fungsi $f\left(x\right)$ adalah semua nilai (bilangan real) dari $2$ sampai $4$, atau secara matematis ditulis $2\le f\left(x\right)\le 4$
(Jawaban E)

5. Nilai minimum 

$f\left(x\right)=2\sin (x–\frac{\pi }{3})+1$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-3$                      C. $-1$                   E. $3$
B. $-2$                      D. $1$            

Pembahasan

Nilai minimum $f\left(x\right)=2\sin (x–\frac{\pi }{3})+1$ tercapai ketika $\sin (x-\frac{\pi }{3})$ bernilai sekecil-kecilnya, yaitu $\sin (x-\frac{\pi }{3})=-1$. Untuk itu,
$f_{\text{min}}\left(x\right)=2(-1)+1=-1$
Jadi, nilai minimum $f\left(x\right)$ adalah $-1$
(Jawaban C)

Sumber Blog :

Catatan Matematika. 2020. Bank Soal: Grafik Fungsi Trigonometri dan Pembahasan. https://www.catatanmatematika.com/2020/05/bank-soal-grafik-fungsi-trigonometri.html (diakses tanggal 3 April 2021).

Sukardi. 2019. Soal dan Pembahasan – Fungsi Trigonometri dan Grafiknya. https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-fungsi-trigonometri-dan-grafiknya/ (diakses tanggal 3 April 2021).