LUAS SEGI-n BERATURAN, JARI-JARI LINGKARAN LUAR DAN LINGKARAN DALAM SEGITIGA, GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN LUAR/DALAM LINGKARAN

NAMA : ALYSIA KHARLOTTA

KELAS : X IPS 2

NO. ABSEN : 03

Luas Segi-n Beraturan

Jika r adalah panjang jari-jari lingkaran luas segi-n beraturannya, maka:

Luas segi-n beraturan = n.1/2.r².sin 360°/n

Jika s adalah panjang sisi segi-n beraturannya, maka:

Luas segi-n beraturan = ns² sin (1/2.n-2/n.180°) sin(1/2.n-2/n.180°)/2 sin((1/2.n-2/n.180°) + (1/2.n-2/n.180°))

Lingkaran Dalam Segitiga

Materi lingkaran dalam segitiga melibatkan dua bangun yaitu lingkaran dan segitiga. Materi pertama mengenai bangun lingkaran yang berada dalam segitiga. Perhatikan gambar berikut!

Lingkaran dalam dan luar segitiga

Rumus mencari jari-jari lingkaran dalam segitiga.

Rumus Jari-Jari Lingkaran Dalam Segitiga

$r = \frac{L_{\Delta ABC}}{s}$

dengan $s = \frac{1}{2} \left(a + b + c \right)$

Lingkaran Luar Segitiga

“lingkaran luar segitiga” artinya ada lingkaran diluar segitiga. Ketiga titik sudut pada segitiga tersebut terletak pada lingkaran. Secara lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah!

lingkaran dalam dan luar segitiga

Persamaan di bawah merupakan rumus mencari jari-jari lingkaran luar segitiga.

Rumus Jari-Jari Lingkaran Luar Segitiga

$r = \frac{AB \times AC \times BC}{4 \times L_{\Delta ABC}}$

atau

$r = \frac{abc}{4 \times L_{\Delta ABC}}$

Garis Singgung Melalui Suatu Titik pada Lingkaran

Kondidisi pertama garis singgung melalui suatu titik pada lingkaran. Misalkan sebuah lingkaran dengan pusat P dan diketahui titik Q yang dinyatakan dalam koordinat (x1, y1). Selanjutnya akan dicari persamaan garis singgung yang melalui titik Q tersebut. Garis tersebut adalah persamaan garis lingkaran dengan pusat P dan melalui titik Q.

Contoh ilustrasi garis singgung lingkaran yang melalui satu titik pada lingkaran dapat dilihat pada gambar di bawah.

Ada 3 (tiga) persamaan umum yang dapat digunakan untuk menentukan garis singgung lingkaran yang melalui satu titik pada lingkaran. Rumus yang akan digunakan tergantung pada bentuk persamaan lingkaran yang diketahui. Jika titik singgung pada lingkaran adalah $(x_{1}, y_{1})$ , maka rumus umum persamaan garis singgung lingkaran yang melalui satu titik dapat dilihat pada tabel di bawah.

Garis Singgung Melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran

Garis singgung yang melalui satu titik di luar lingkaran biasa disebut juga dengan garis singgung kutub atau garis singgung polar. Jika sebuah titik (x1, y1) terletak di luar lingkaran, garis singgung dapat dicari dengan menarik garis lurus dari titik tersebut sehingga menyinggung lingkaran. Sehingga, bisa terdapat 2 (dua) garis singgung lingkaran yang melalui titik di luar lingkaran.

Contoh ilustrasi persamaan garis singgung di luar lingkaran dapat dilihat pada gambar di bawah.

Langkah-langkah menentukan persamaan garis singgung yang melalui satu titik di luar lingkaran:

Pertama: melakukan pemisalan garis singgung yang akan dicari.
$y - y_{1} = m(x - x_{1})$
dengan m adalah gradien dan (x1, y1) adalah titik di luar lingkaran yang dilalui garis singgung.
Ke dua: substitusikan nilai y yang diperoleh pada langkah pertama ke persamaan lingkaran sehingga diperoleh suatu persamaan kuadrat dengan variabel x.
Ke tiga: menghitung nilai diskriminan persamaan kuadrat tersebut. Agar garis menyinggung lingkaran maka nilai D = 0, penjelasan lebih lanjut ada pada materi kedudukan garis terhadap lingkaran.
Ke empat: selesaikan persamaan kuadrat yang diperoleh dari langkah ketiga untuk mendapatkan nilai m.
Ke lima: substitusikan nilai m pada pemisalan persamaan
$y - y_{1} = m(x - x_{1})$
pada langkah pertama.

Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien Tertentu

Ada 3 (tiga) persamaan umum yang dapat digunakan untuk menentukan garis singgung lingkaran yang diketahui nilai gradiennya. Rumus yang akan digunakan tergantung pada persamaan lingkaran yang diketahui. Ada tiga rumus mencari persamaan garis singgung lingkaran dari tiga persamaan lingkaran yang berbeda. Jika diketahui gradien dari suatu gradien garis singgung adalah m, maka rumus umum persamaan garis singgung lingkaran untuk tiga bentuk persamaan lingkaran yang berbeda dapat dilihat pada tabel di bawah.

Contoh Soal:

3. Perhatikan gambar di bawah!

soal lingkaran dalam segitiga

Jika panjang AC dan BC berturut-turut 8 cm dan 15 cm maka panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga adalah ….
A. 5 cm
B. 3,5 cm
C. 3 cm
D. 2,5 cm

Pembahasan:

Gambar pada soal merupakan lingkaran dalam segitiga. Untuk mengetahui besar jari-jari dari lingkaran tersebut digunakan rumus berikut.

$r = \frac{L_{\Delta ABC}}{s}$

Dengan $s = \frac{1}{2}K_{\Delta ABC}$

Sebelumnya, kita perlu mencari sisi miring AB, keliling segitiga ABC, nilai s, dan luas segitiga ABC terlebih dahulu.

$AB^{2} = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}}$

$AB^{2} = \sqrt{8^{2} + 15^{2}}$

$AB^{2} = \sqrt{64 + 225}$

$AB^{2} = \sqrt{289} = 17 \; cm$

$K_{\Delta ABC} = AB + AC + BC$

$K_{\Delta ABC} = 17 + 8 + 15$

$K_{\Delta ABC} = 40 \; cm$

$s = \frac{1}{2} \times K_{\Delta ABC}$

$s = \frac{1}{2} \times 40 = 20 \; cm$

$L_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \times AC \times BC$

$L_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \times 8 \times 15$

$L_{\Delta ABC} = 60 \; cm^{2}$

Jadi, panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga pada soal di atas adalah

$r = \frac{L_{\Delta ABC}}{s}$

$r = \frac{60}{20} = 3 \; cm$

Jawaban: C

4. Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Lingkaran Dengan Gradien Tertentu

Sebuah lingkaran memiliki persamaan x2 + y2 = 9. Jika diketahui gradien garis singgung adalah 2, maka persamaan garis tersebut adalah ….

$\textrm{A.} \; \; \; y = 2x + 3 \sqrt{5}$

$\textrm{B.} \; \; \; y = 3x - 2 \sqrt{5}$

$\textrm{C.} \; \; \; y = 3x + 2 \sqrt{3}$

$\textrm{D.} \; \; \; y = 3x - 2 \sqrt{2}$

$\textrm{E.} \; \; \; y = 3x + 2 \sqrt{5}$

Pembahasan:

Rumus persamaan garis singgung jika diketahui nilai gradien untuk persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ adalah (lihat tabel, nomor 1),

$y = mx \pm r \sqrt{m^{2} + 1}$

Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 9 dengan gradien m = 2 adalah

$y = 2x \pm 3 \sqrt{2^{2} + 1}$

$y = 2x \pm 3 \sqrt{5}$

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 9 dengan gradien m = 2 adalah $y = 2x + 3 \sqrt{5}$ atau $y = 2x - 3 \sqrt{5}$ .

Jawaban: A

Sumber Blog :

Simangunsong, Wilson. 2016. PKS MATEMATIKA WAJIB KELAS X SMA dan MA Kurikulum 2013 Edisi Revisi. Jakarta Timur : Gematama.

admin. 2017. Lingkaran Dalam dan Lingkaran Luar Segitiga. https://idschool.net/smp/lingkaran-dalam-dan-lingkaran-luar-segitiga/ (diakses tanggal 21 Maret 2021).

Opan. 2012. Soal Menentukan Luas Segi-N Beraturan. https://maths.id/luas-segi-n-beraturan (diakses tanggal 21 Maret 2021).

agusmbie. 2019. LUAS SEGI-n BERATURAN. https://gudangsoalsml.blogspot.com/2019/02/luas-segi-n-beraturan.html (diakses tanggal 21 Maret 2021).

admin. 2017. Rumus Mencari Persamaan Garis Singgung Lingkaran. https://idschool.net/sma/rumus-mencari-persamaan-garis-singgung-lingkaran/ (diakses tanggal 21 Maret 2021).

Search This Blog

Saya Senang Menjadi Siswa SMAN 63 Jakarta