KOMPOSISI FUNGSI DAN INVERS FUNGSI

NAMA : ALYSIA KHARLOTTA

KELAS : X IPS 2

NO. ABSEN : 3

KOMPOSISI FUNGSI DAN INVERS FUNGSI

Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi adalah suatu penggabungan dari operasi dua jenis fungsi f(x) dan g(x) sehingga nantinya dapat menghasilkan fungsi yang baru.

Dari dua jenis fungsi f(x) dan g(x) kita dapat membentuk sebuah fungsi baru dengan menggunakan sistem operasi komposisi. operasi komposisi biasa dilambangkan dengan “o” (komposisi/bundaran). fungsi baru yang dapat kita bentuk dari f(x) dan g(x) adalah:

(g o f)(x) artinya f dimasukkan ke g

(f o g)(x) artinya g dimasukkan ke f

Contoh Soal 1:

Diketahui f(x) = 3x – 4 dan g(x) = 2x, maka tentukanlah rumus (f o g)(x) dan (g o f)(x) …

Jawab:

(f o g)(x) = g dimasukkan ke f menggantikan x

(f o g)(x) = 3(2x)-4

(f o g)(x) = 6x – 4

(g o f)(x) = f dimasukkan ke g menggantikan x

(g o f)(x) = 2(3x-4)

(g o f)(x) = 6x-8

Dilihat dari skema rumus diatas maka bisa diketahui bahwa :
Apabila f : A → B maka ditentukan dengan menggunakan rumus y = f(x)
Apabila g : B → C maka ditentukan dengan menggunakan rumus y = g(x)
Jadi akan diperoleh suatu hasil fungsi g dan juga f, yaitu:
h(x) = (gof)(x) = g( f(x))

Dari definisi tersebut maka bisa kita ambil kesimpulan bahwa fungsi yang melibatkan antara fungsi f dengan g bisa ditulis seperti berikut ini:

• (g o f)(x) = g(f(x))
• (f o g)(x) = f(g(x))

Sifat-Sifat Fungsi Komposisi

Ternyata ada banyak sekali sifat yang dimiliki oleh fungsi komposisi. Adapun sifat-sifat pada fungsi komposisi adalah sebagai berikut ini:

Apabila f : A → B , g : B → C , h : C → D, maka akan berlaku berbagai sifat seperti berikut ini:

Tidak Komutatif

(g o f)(x) = (f o g)(x)

Asosiatif

(f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)]

Fungsi Identitas I(x) = x

(f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)

Contoh Soal:

1. Misal fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut :

f : {(-1,4), (1,6), (3,3), (5,5)}

g : {(4,5), (5,1), (6,-1), (7,3)}

Tentukan :

a. f o g d. (f o g) (2)

b. g o f e. (g o f) (1)

c. (f o g) (4) f. (g o f) (4)

Jawab :

Pasangan terurut dari fungsi f dan g dapat digambarkan dengan diagram panah berikut ini

a. (f o g) = {(4,5), (5,6), (6,4), (7,3)}

b. (g o f) = {(-1,5), (1,-1), (3,3), (5,1)}

c. (f o g) (4) = 5

d. (f o g) (2) tidak didefinisikan

e. (g o f) (1) = -1

2.  Jika f(x) = 2x² + 5x dan g(x) = 1/x maka (fog) (2) adalah …

a. 3

b. 2

c. 1

d. ½

e. 1/3

Jawaban : A

Pertama kita cari fungsi (f o g) (𝑥) dulu

3. Diketahui fungsi 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥² − 3𝑥 + 3. Jika nilai (𝑔 o f) (𝑡) = 7 maka nilai t adalah …

a. 1 atau 2

b. -2/3 atau 1

c. -1 atau 2/3

d. -1 atau 3/2

e. -2 atau -1

Jawaban : D

Pertama kita hitung (𝑔 o f) (𝑥)

Fungsi Invers

Fungsi invers atau yang biasa disebut dengan fungsi kebalikan merupakan suatu fungsi yang berkebalikan dari fungsi asalnya.

Fungsi invers bisa terjadi karena adanya sebuah fungsi yang dinotasikan dengan f (x) dan memiliki relasi pada setiap himpunan A ke setiap himpunan B. Dengan demikian akan menjadi suatu fungsi invers dan dinotasikan dengan f-1 (x) yang tak lain mempunyai sebuah relasi dari himpunan B ke setiap himpunan A.

Jadi fungsi invers yang telah didapatkan dari f : A → B akan mengalami perubahan menjadi f-1 B → A sehingga untuk daerah asal atau domain f (x), berubah menjadi sebuah daerah kawan atau kodomain menjadi daerah hasil atau range f-1 (x) yakni himpunan A. Demikian pula sebaliknya yang terjadi pada himpunan B.

Cara menentukan fungsi invers bila fungsi f(x) telah diketahui:

Pertama
Ubah persamaan y = f (x) menjadi bentuk x sebagai fungsi dari y

Kedua

Hasil perubahan bentuk x sebagai fungsi yitu dinamakan sebagai f^-1(y)

Ketiga
Ubah y menjadi x [f^-1(y) menjadi f^-1(x)]

Sebuah fungsi f dapat dikatakan memiliki fungsi invers (kebalikan) f-1  apabila f merupakan fungsi satu-satunya dan fungsi pada (bijektif). Untuk hubungan tersebut dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut ini:

(f-1)-1 = f

Secara umum bisa disimpulkan bahwa fungsi bijektif akan berlangsung ketika jumlah anggota domain sudah sama dengan jumlah anggota kodomain. Setidaknya sekitar dua atau lebih domain yang berbeda dipetakkan kedalam domain yang sama. Untuk setiap kodomain memiliki pasangan pada domain.

Cara Mencari Invers dari Suatu Fungsi

Untuk mencari fungsi y=f(x) bisa dicari dengan cara sebagai berikut ini:

1. Mengubah persamaan y=f(x) menjadi bentuk x=f(y)
2. Menuliskan x dengan  f-1(y) sehingga  f(y) =  f-1(y)
3. Mengubah variabel y dengan x sehingga akan diperoleh invers dari f(x) berupa  f-1

Contoh Soal:

1. Jika f (x) = 2x – 6, maka f-1 (x) = …

A. 1/2 x – 3
B. 1/2 x + 3
C. -1 / 2x – 3
D. -1 / 2x + 3
E. x – 12

Jawaban:
Untuk menentukan fungsi invers, Anda harus terlebih dahulu menentukan persamaan x.
f (x) = 2x – 6
2x = f (x) + 6
x = f (x) + 6/2 (perubahan x ke f-1 (x) dan f (x) digantikan oleh x)

f-1 (x) = (x + 6) / 2 = 1/2 x + 3

Jawab: B

2. Jika f (x) = 5 – 1 / 3x, maka f-1 (x) = …

A. 3x + 15
B. 3x – 15
C. -3x + 15
D. -3x – 15
E. -3x + 5/3

Jawaban:

f (x) = 5-1 / 3x
1 / 3x = 5 – f (x)
x = (5 – f (x)). 3
x = 15 – 3 f (x)
f-1 (x) = -3x + 15

Jawab: C

3. Jika f (x) = (x + 3) / (x – 2), f-1 (x) = …

A. (2x + 3) / (x – 1)
B. (x – 3) / (x + 2)
C. (2x + 3) / (x +1)
D. (-2x + 3) / (x + 1)
E. (-x + 3) / (x – 2)

Jawaban:

Langkah 1:

Biarkan f (x) = y

y. = (x + 3) atau (x – 2)
y (x – 2) = x + 3
yx – 2y = x + 3
yx – x = 2thn + 3
x (y – 1) = 2y + 3

x = (2y + 3) / (y – 1) Kemudian ganti x dengan f-1 (x) dan y dengan x

f-1 (x) = (2x + 3) / (x-1)

Langkah 2:

Jika f (x) = (kapak + b) / (cx + d) Jadif-1 (x) = (-dx + b) / (cx-a))

Kemudian kita bisa bertukar tempat dan mengganti karakter 1 dengan -2.

f-1 (x) = (2x + 3) / (x-1)

Jawab: A