FUNGSI: LINEAR, KUADRAT, RASIONAL, IRASIONAL DAN GRAFIKNYA SERTA MEMBACA GRAFIKNYA

 NAMA : ALYSIA KHARLOTTA

KELAS : X IPS 2

NO. ABSEN : 3

FUNGSI : LINEAR, KUADRAT, RASIONAL, IRASIONAL DAN GRAFIKNYA SERTA MEMBACA GRAFIKNYA

• FUNGSI LINEAR

Fungsi: hubungan antara satu variable dengan variable lain yang masing-masing variable tersebut saling mempengaruhi.

Fungsi linear merupakan fungsi yang pangkat tertinggi dari variable bebasnya adalah 1.

Bentuk umumnya adalah :

y = ax + b

Keterangan:

a = koefisien arah

b = konstanta yang merupakan titik potong pada sumbu y

x = variable bebas

y = variable tergantung

Penggambaran Fungsi Linear

1. Cara daftar

digunakan untuk melihat perubahan nilai angka dari peubah bebas dab peubah tergantungnya. Contoh :

y = 2x + 10

X	0	1	2	3	4	5	6	7
Y	10	12	14	16	18	20	22	24

       

2. Cara matematis

Dengan cara mencari ciri matematis dari persamaan yang bersangkutan.

Y = 2x + 10

Titik potong sumbu y apabila x = 0 maka y = 2 (0) + 10

                                                                           = 10

Sehingga titik potong pada sumbu y = ( 0,10 )

Titik potong sumbu x apabila y = 0 maka 0 = 2x + 10

                                                           - 2x = 10

                                                                   x = - 5 

sehinnga titik potong pada sumbu x = ( -5,0 )

Mencari fungsi linear

a. Metode dua titik (dwi koordinat )

merupakan metode pembentukan persamaan linear ( garis lurus ) dari dua buah titik yang diketahui

( Y – Y1)     =  ( X – X1 )

(Y 2 – Y1)       (X2 – X1)

Contoh buatlah persamaan garis lurus yang melalui titik A (4,2) dan B (2,6)

Titik A (4,2)     X1 = 4   Y1 = 2

Titik B (2,6)     X2 = 2    Y2 = 6

(Y - 2)  =  (X - 4)

(6 -  2)     ( 2 – 4)          

(Y – 2) = (X – 4)    

    (4)           (-2)

-2y + 4 = 4x – 16

      -2y = 4x – 20

         y = -2x + 10

 

                                           

                                    

b. Metode titik potong sumbu

digunakan untuk kasus tertentu, yaitu jika suatu titik A (x1,y1) merupakan titik potong sumbu Y, misalnya pada titik (0,b) dan titik B (x2,y2) merupakan titik potong sumbu x misalnya pada (a,0) maka persamaan garisnya dapat dibentuk sbb:

y / b – 1 = -x / a  

y / b + x / a = 1

c. Metode kemiringan garis dan titik

apabila diketahui suatu titik A (x1,y1) dan dilalui oleh suatu garis lurus yang memiliki kemiringan m, maka persamaannya adalah :

y – y1 = m (x – x1) persamaan garis yang melalui titik (x1,y1) dengan kemiringan sebesar m. contoh

carilah persamaan garis yang melalui suatu titik (4,2) dan kemiringan -3

y – y1 = m(x – x1)

y – 2   = -3(x – 4 )

           = -3x + 12

       y  = -3x + 14

d. Metode kemiringan garis dan titik potong sumbu

apabila diketahui suatu titik yang berkoordinat (0,b) merupakan titik potong dengan sumbu y sebuah garis lurus yang memiliki kemiringan garis m, maka persamaan garis tersbut adalah y = mx + b, merupakan persamaan garis yang melalui titik potong sumbu y dengan kemiringan m, contoh :

apabila suatu garis memiliki titik potong dengan sumbu y pada (0,-4) dan kemiringannya 5 maka bagaimana persamaan garisnya :

y = mx + b

y = 5x – 4

• FUNGSI KUADRAT

Pengertian

Fungsi kuadrat adalah sebuah fungsi polinom yang memiliki peubah/variabel dengan pangkat tertingginya adalah 2 (dua).

Secara umum fungsi kuadrat memiliki bentuk umum seperti berikut ini:

f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0

dengan f(x) = y yang merupakan variabel terikat, x adalah variabel bebas, sedangkan a, dan b merupakan koefisien dan c adalah suatu konstanta. Suatu fungsi sangat erat hubungannya dengan grafik fungsi.

Cara Pengerjaan

Apabila digambarkan pada koordinat Cartesius, grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola. Parabola nya terbuka ke atas apabila a > 0 dan terbuka apabila a < 0. Berikut adalah tahapan untuk menggambarkan grafik atau kurva nya:

Langkah pertama menentukan titik potong y = f(x) = ax2 – bx + c terhadap sumbu x. Yakni nila x saat y = 0.

Dengan begitu, nilai titik potong ini adalah akar-akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 Selanjutnya, menentukan titik potong terhadap sumbu y, nilai y saat x = 0. Sesudah itu, menentukan sumbu simetri nya. Sumbu simetri adalah garis yang membagi dua parabola menjadi sama besar. Titik potong sumbu simetri terhadap sumbu x bisa dihitung dengan menggunakan rumus  atau  Terakhir, menentukan titik puncak (titik balik maksimum atau minimum) grafiknya. Titik puncak adalah titik di mana nilai y = f(x) mencapai nilai maksimum atau minimum, sehingga parabola nya akan berbalik arah.

Koordinat titik puncak parabola yaitu:

Di mana D merupakan diskriminan, yaitu D = b2 – 4ac.

Berdasarkan D = b2 – 4ac, kedudukan garis pada parabola dibagi menjadi 3 macam, antara lain:

1. D > 0 berarti garis akan memotong parabola ada di dua titik.
2. D = 0 berarti garis memotong parabola di satu titik (menyinggung)
3. D < 0 berarti garis tidak memotong dan tidak akan menyinggung parabola.

Grafik Fungsi Kuadrat

Berikut di bawah ini merupakan bentuk-bentuk grafik fungsi kuadrat secara umum beserta sedikit penjelasannya:

Contoh Soal Fungsi Kuadrat

1. Tentukan nilai maksimum dari fungsi y = x2 – x – 6.

Pembahasan

Nilai maksimum dari suatu fungsi kuadrat adalah

Jadi, ypuncak = – 23/4

2. Jika gambar di bawah ini adalah grafik fungsi kuadrat f dengan titik puncak (-2,0) dan melalui titik (0,-4) maka nilai f(-5) adalah …

1. -7
2. -8
3. -9
4. -10
5. -11

Jawab:

Diketahui titik puncak ( xp , yp) = (-2,0), melewati titik (x , y) = (0,-4)

Rumus yang sesuai jika diketahui titik puncaknya adalah:

y = f(x) = a(x-xp )2 + yp

Untuk mencari nilai a, maka:

y = f(x) = a(x-xp)2 + yp
y = a(x+2)2 + 0
-4 = a(0+2)2 + 0
-4 = 4a
a = -1

Sehingga akan diperoleh:
f(x) = -(x + 2)2, dengan f(-5)
f(-5) = -(-5 + 2)2 = -9

Jadi, jawabannya yaitu: C

• FUNGSI RASIONAL

Fungsi Rasional
Fungsi rasional merupakan fungsi yang mempunyai bentuk umum

Dengan p dan d adalah polinomial dan d(x) ≠ 0. Domain dari V(x) merupakan seluruh bilangan real, kecuali pembuat nol dari d. Adapun fungsi rasional yang paling sederhana, yakni fungsi y = 1/x dan fungsi y = 1/x². Di mana keduanya mempunyai pembilang konstanta sertaa penyebut polinomial dengan satu suku. Dan kedua fungsi tersebut mempunyai domain semua bilangan real kecuali x ≠ 0.

Fungsi y = 1/x

Fungsi ini disebut juga sebagai fungsi kebalikan sebab setiap kita mengambil sembarang x (kecuali nol) maka akan menghasilkan kebalikannya sebagai nilai dari fungsi tersebut.

Yang artinya x yang besar akan menghasilkan nilai fungsi yang kecil, begitu juga sebaliknya. Tabel dan grafik dari fungsi tersebut bisa dilihat pada gambar di bawah ini.

Tabel dan grafik di atas menunjukan beberapa hal yang menarik.

Yang pertama, grafik tersebut lolos pada uji garis vertikal. Yang berarti setiap garis vertikal pada bidang koordinat Cartesius akan memotong grafik pada maksimal satu titik.

Sehingga, y = 1/x adalah sebuah fungsi. Yang kedua, sebab pembagian tidak terdefinisi jadi saat pembaginya nol, maka nol tidak akan mempunyai pasangan, sehingga menghasilkan jeda pada x = 0. Hal tersebut sesuai dengan domain dari fungsi tersebut, yakni seluruh x anggota bilangan real kecuali 0. Yang ketiga, fungsi tersebut adalah fungsi ganjil, dengan salah satu cabangnya terletak di kuadran I. Sementara yang lainnya berada pada kuadran III. Kemudian yang terakhir, pada kuadran I, saat x menuju tak hingga, nilai y menuju dan mendekati nilai nol. Secara simbolis bisa kit tuliskan sebagai x → ∞, y → 0. Secara grafis, kurva dari grafik fungsi tersebut akan mendekati sumbu-x pada saat x mendekati tak hingga. Tak hanya itu saja, kita juga bisa mengamati bahwa pada saat x mendekati nol dari kanan maka nilai y akan mendekati bilangan real positif yang sangat besar (positif tak hingga): x → 0+, y → ∞. Untuk catatan, tanda + atau – yang berada di atas akan mengindikasikan arah dari pendekatan. Yakni dari sisi positif (+) atau dari sisi negatif (–).

Contoh soal:

Mendeskripsikan Sifat dari Ujung Grafik Fungsi Rasional

Untuk y = 1/x dalam kuadran III,

1. Mendeskripsikan sifat dari ujung grafik fungsi tersebut.
2. Mendeskripsikan apa yang akan terjadi pada saat x mendekati nol.

Pembahasan Serupa dengan sifat grafiknya pada kuadran I, maka akan kita peroleh

1. Pada saat x mendekati negatif tak hingga, nilai y akan mendekati nol. Jika disimbolkan akan menjadi: x → –∞, y → 0.
2. Pada saat x mendekati nol dari kiri, nilai y akan mendekati negatif tak hingga. Pernyataan tersebut juga bisa kita tuliskan dengan simbol x → 0–, y → –∞.

Fungsi y = 1/x²

Dari pembahasan di atas, kita bisa mengetahui bahwa grafik dari fungsi ini akan mengalami jeda pada saat x = 0.

Namun demikian, sebab kuadrat dari sembarang bilangan negatif merupakan bilangan positif, cabang-cabang dari grafik fungsi ini akan terletak kdi atas sumbu-x.

Perhatikan bahwa fungsi y = 1/x² adalah fungsi genap.

Sama halnya dengan y = 1/x, nilai x yang mendekati positif tak hingga akan menghasilkan y yang mendekati nol. Jika kita tulis simbolnya maka akan menjadi: x → ∞, y → 0.

Hal ini adalah salah satu indikasi dari sifat asimtot dalam arah horizontal. Serta kita akan menyatakan y = 0 adalah asimtot horizontal dari fungsi y = 1/x dan y = 1/x². Secara umum,Pada gambar (a) di bawah ini menggambarkan garis asimtot horizontal pada y = 1, yang menunjukan grafik f(x) sebagai translasi grafik y = 1/x ke atas sejauh 1 satuan.

Gambar (b) menggambarkan garis asimtot horizontal pada y = –2, yang menunjukan grafik g(x) sebagai pergeseran grafik y = 1/x² ke bawah sejauh 2 satuan.

• FUNGSI IRASIONAL

Pertidaksamaan irasional adalah suatu bentuk pertidaksamaan yang fungsi-fungsi pembentuknya berada dibawah tanda akar, baik fungsi pada ruas kiri, ruas kanan ataupun pada kedua ruasnya.

Untuk semesta bilangan real, pertidaksamaan irasional akan terdefinisi jika syarat akar terpenuhi yaitu fungsi yang berada dibawah tanda akar bernilai lebih dari atau sama dengan nol.

Penyelesaian dari pertidaksamaan irasional dilakukan dengan cara menguadratkan kedua ruas yang kemudian disederhanakan dengan operasi-operasi aljabar hingga diperoleh suatu interval tertentu. Solusi akhirnya adalah irisan dari syarat akar dengan interval yang telah diperoleh tadi.

Bentuk-Bentuk Pertidaksamaan Irasional Beserta Solusi

1.  Bentuk $\sqrt{f\left(x\right)}>k$

Untuk k ≥ 0
Solusi : f(x) ≥ 0 ∩ f(x) > k²

Untuk k < 0
Solusi : f(x) ≥ 0

Contoh 1
Tentukan HP dari $\sqrt{x-2}>3$

Jawab :
x − 2 ≥ 0 ∩ x − 2 > 3²
x ≥ 2 ∩ x > 11
⇒ x > 11

HP = {x > 11}


Contoh 2
Tentukan HP dari $\sqrt{x+3}>-2$

Jawab :
x + 3 ≥ 0
⇒ x ≥ −3

HP = {x ≥ −3}


2.  Bentuk $\sqrt{f\left(x\right)}<k$

Solusi : f(x) ≥ 0 ∩ f(x) < k²

Bentuk diatas hanya mempunyai solusi jika k > 0. Jika k ≤ 0, maka pertidaksamaan diatas tidak mempunyai solusi/penyelesaian.

Contoh 3
Tentukan HP dari $\sqrt{2x-1}<1$

Jawab :
2x − 1 ≥ 0 ∩ 2x − 1 < 1²
x ≥ $\frac{1}{2}$ ∩ x < 1
⇒ $\frac{1}{2}$ ≤ x < 1

HP = {$\frac{1}{2}$ ≤ x < 1}


3.  Bentuk $\sqrt{f\left(x\right)}>g\left(x\right)$

f(x) ≥ 0 ∩ g(x) ≥ 0 ∩ f(x) > (g(x))² ......(1)
f(x) ≥ 0 ∩ g(x) < 0 ................................(2)

Solusi : 1 ∪ 2

Contoh 4
Tentukan HP dari $\sqrt{x+2}>x$

Jawab :
x + 2 ≥ 0 ∩ x ≥ 0 ∩ x + 2 > x²
x ≥ −2 ∩ x ≥ 0 ∩ x² −x − 2 < 0
x ≥ −2 ∩ x ≥ 0 ∩ −1 < x < 2

0 ≤ x < 2 ....(1)

x + 2 ≥ 0 ∩ x < 0
x ≥ −2 ∩ x < 0

−2 ≤ x < 0 ....(2)

1 ∪ 2 ⇒ −2 ≤ x < 2

HP = {−2 ≤ x < 2}


4.  Bentuk $\sqrt{f\left(x\right)}<g\left(x\right)$

Solusi : f(x) ≥ 0 ∩ g(x) > 0 ∩ f(x) < (g(x))²

^Grafik: