Soal Persamaan Kuadrat - Linear dan Kuadrat - Kuadrat

 

NAMA : ALYSIA KHARLOTTA

KELAS : X IPS 2

NO. ABSEN : 3

Soal Persamaan Kuadrat-Linear dan Kuadrat-Kuadrat

Soal Persamaan Kuadrat-Linear

1. Titik koordinat yang termasuk penyelesaian dari sistem persamaan 

$\{\begin{array}{cc}y& =2x+5\\ y& =x^2-3\end{array}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(-4,13)$                       D. $(2,-1)$
B. $(-2,1)$                         E. $(4,11)$

C. (0, -4)

Pembahasan

Pertama, cari titik potong dari grafik kedua persamaan tersebut.
$$\begin{array}{cc}y& =y\\ x^2-3& =2x+5\\ x^2-2x-8& =0\\ (x-4)(x+2)& =0\\ x=4\text{atau}x& =-2\end{array}$$Substitusi masing-masing dua nilai $x$ tersebut ke persamaan $y=2x+5$, sehingga diperoleh
$$\begin{array}{cc}x=4& \Rightarrow y=2\left(4\right)+5=13\\ x=-2\Rightarrow y=2(-2)+5=1& \end{array}$$Jadi, titik potongnya adalah $(4,13)$ dan $(-2,1)$.
Titik potong adalah titik koordinat yang merupakan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut.

(Jawaban B)

2. Himpunan Penyelesaian SPLK

$$\{\begin{array}{c}2x+3y=8\\ 4x^2-12xy+9y^2=16\end{array}$$adalah $\cdots \cdot$
A. $\left\{\right(1,2),(3,\frac{2}{3})\}$
B. $\left\{\right(2,1),(3,\frac{2}{3})\}$
C. $\left\{\right(1,2),(\frac{2}{3},3)\}$
D. $\left\{\right(2,1),(\frac{2}{3},3)\}$
E. $\varnothing$

Pembahasan

Diketahui SPLK
$$\{\begin{array}{cc}2x+3y=8& (\cdots 1)\\ 4x^2-12xy+9y^2=16& (\cdots 2)\end{array}$$Persamaan $\left(2\right)$ merupakan bagian kuadrat yang dapat difaktorkan sebagai berikut.
$$\begin{array}{cc}4x^2-12xy+9y^2& =16\\ (2x-3y{)}^2& =16\\ (2x-3y{)}^2-4^2& =0\\ (2x-3y+4)(2x-3y-4)& =0\\ 2x-3y+4=0\text{atau}2x-3y& -4=0\end{array}$$Dengan demikian, SPLK tersebut dapat dipecah menjadi dua SPLDV berikut.
SPLDV pertama:
$$\{\begin{array}{cc}2x+3y& =8\\ 2x-3y+4& =0\end{array}$$dengan penyelesaian $(1,2)$.
SPLDV kedua:
$$\{\begin{array}{cc}2x+3y& =8\\ 2x-3y-4& =0\end{array}$$dengan penyelesaian $(3,\frac{2}{3})$.
Jadi, himpunan penyelesaian SPLK tersebut adalah $\left\{\right(1,2),(3,\frac{2}{3})\}$
(Jawaban A)

3. Penyelesaian dari sistem persamaan

$$\{\begin{array}{cc}x-y=2& (\cdots 1)\\ x^2+16y^2-24xy-16=0& (\cdots 2)\end{array}$$adalah $\cdots \cdot$
A. $(6,4)$ dan $(\frac{12}{7},-\frac{2}{7})$
B. $(6,4)$ dan $(\frac{2}{7},-\frac{12}{7})$
C. $(-4,-6)$ dan $(\frac{2}{7},-\frac{12}{7})$
D. $(-4,-6)$ dan $(\frac{12}{7},-\frac{2}{7})$
E. $(-4,-6)$ dan $(6,4)$

Pembahasan

Ubah persamaan $\left(1\right)$ menjadi
$$x=2+y(\cdots 3)$$Substitusi persamaan $\left(3\right)$ pada persamaan $\left(2\right)$. Kita peroleh
$$\begin{array}{cc}{x}^2+16y^2-24xy-16=0& \\ (2+y{)}^2+16y^2-24(2+y)y-16& =0\\ y^2+4y+4+16y^2-48y-24y^2-16& =0\\ -7y^2-44y-12& =0\\ 7y^2+44y+12& =0\\ (7y+2)(y+6)& =0\\ y=-\frac{2}{7}\text{atau}y& =-6\end{array}$$Substitusi nilai $y$ ke persamaan $\left(1\right)$, yaitu $x=2+y$.
$$\begin{array}{cc}y=-\frac{2}{7}& \Rightarrow x=2+-\frac{2}{7}=\frac{12}{7}\\ y=-6& \Rightarrow x=2+(-6)=-4\end{array}$$Jadi, penyelesaian sistem persamaan linear-kuadrat tersebut adalah $(-4,-6)$ dan $(\frac{12}{7},-\frac{2}{7})$.
(Jawaban D)

4. Misalkan penyelesaian SPLK 

$\{\begin{array}{c}x-y+1=0\\ x^2+y^2-13=0\end{array}$ adalah $(a,b)$ dan $(c,d)$. Nilai $a+b+c+d=\cdots \cdot$
A. $-3$                     C. $0$                    E. $12$
B. $-2$                     D. $3$

Pembahasan

Diketahui SPLK
$$\{\begin{array}{cc}x-y+1=0& (\cdots 1)\\ x^2+y^2-13=0& (\cdots 2)\end{array}$$Persamaan $\left(1\right)$ dapat ditulis menjadi $y=x+1$. Substitusikan pada persamaan $\left(2\right)$.
$$\begin{array}{cc}{x}^2+y^2-13& =0\\ x^2+(x+1{)}^2-13& =0\\ x^2+(x^2+2x+1)-13& =\\ 2x^2+2x-12& =0\\ x^2+x-6& =0\\ (x+3)(x-2)& =0\\ x=-3\text{atau}x& =2\end{array}$$Jika $x=-3$, maka diperoleh $y=-2$.
Jika $x=2$, maka diperoleh $y=3$.
Jadi, penyelesaian SPLK tersebut adalah $(-3,-2)$ dan $(2,3)$, sehingga nilai $a+b+c+d=-3+(-2)+2+3=0$
Catatan: Karena yang ditanyakan adalah jumlah dari $a,b,c,d$, maka masing-masing nilainya tidak perlu dipermasalahkan bila ditukar-tukar, sebab hasil penjumlahannya pasti sama.
(Jawaban C)

5. Carilah himpunan penyelesaian dari SPLK berikut ini.

2x + 3y = 8

4x2 – 12xy + 9y2 = 16

Jawab:

Bagian kuadrat dapat difaktorkan sebagai berikut.

⇒ 4x2 – 12xy + 9y2 = 16

⇒ (2x – 3y)2 – 16 = 0

⇒ (2x – 3y + 4)(2x – 3y – 4) = 0

⇒ 2x – 3y + 4 = 0 atau 2x – 3y – 4 = 0

Jika hasil ini digabungkan dengan persamaan linear semula, maka akan diperoleh dua SPLDV, yaitu sebagai berikut.

2x + 3y = 8	………. SPLDV pertama
2x – 3y + 4 = 0

2x + 3y = 8	………. SPLDV kedua
2x – 3y – 4 = 0

Selanjutnya masing-masing SPLDV itu diselesaiakan dengan menggunakan salah satu dari metode penyelesaian SPLDV yang telah dibahas dalam artikel sebelumnya. Sebagai contoh, kita gunakan metode gabungan.

Menyelesaikan SPLDV  pertama

Dengan menggunakan metode eliminasi, maka dari sistem persamaan 2x + 3y = 8 dan 2x – 3y + 4 = 0 kita peroleh nilai y sebagai berikut.

2x + 3y	=	8
2x – 3y	=	–4	−
6y	=	12
y	=	2

Kemudian subtitusikan nilai y = 2 ke persamaan 2x + 3y = 8 sehingga diperoleh nilai x sebagai berikut.

⇒ 2x + 3(2) = 8

⇒ 2x + 6 = 8

⇒ 2x = 8 – 6

⇒ 2x = 2

⇒ x = 1

Dengan demikian, SPLDV pertama ini memberikan penyelesaian (1, 2).

Menyelesaikan SPLDV  Kedua

Dengan menggunakan metode eliminasi, maka dari sistem persamaan 2x + 3y = 8 dan 2x – 3y – 4 = 0 kita peroleh nilai y sebagai berikut.

2x + 3y	=	8
2x – 3y	=	4	−
6y	=	4
y	=	4/6
y	=	2/3

Kemudian subtitusikan nilai y = 2/3 ke persamaan 2x + 3y = 8 sehingga diperoleh nilai x sebagai berikut.

⇒ 2x + 3(2/3) = 8

⇒ 2x + 6/3 = 8

⇒ 2x + 2 = 8

⇒ 2x = 8 – 2

⇒ 2x = 6

⇒ x = 3

Dengan demikian, SPLDV pertama ini memberikan penyelesaian (3, 2/3).

Jadi, himpunan penyelesaian SPLK tersebut adalah {(1, 2), (3, 2/3)}.

Soal Persamaan Kuadrat-Kuadrat

1. Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya.

y = x2 – 1

y = x2 – 2x – 3

Jawab:

Subtitusikan bagian kuadrat yang pertama y = x2 – 1 ke bagian kuadrat yang kedua y = x2 – 2x – 3 sehingga diperoleh:

⇒ x2 – 1 = x2 – 2x – 3

⇒ x2 – x2 = –2x – 3 + 1

⇒ 2x = –2

⇒ x = –1

Selanjutnya, subtitusikan nilai x = –1 ke persamaan y = x2 – 1 sehingga diperoleh:

⇒ y = x2 – 1

⇒ y = (–1)2 – 1

⇒ y = 1 – 1

⇒ y = 0

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari SPKK tersebut adalah {(–1, 0)}. Tafsiran geometrinya adalah grafik parabola y = x2 – 1 dan parabola y = x2 – 2x – 3 berpotongan di satu titik, yaitu di (–1, 0). Perhatikan gambar di bawah ini.

2. Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya.

y = x2

y = 2x2 – 3x

Jawab:

Subtitusikan bagian kuadrat yang pertama y = x2 ke bagian kuadrat yang kedua y = 2x2 – 3x sehingga diperoleh:

⇒ x2 = 2x2

⇒ 2x2 – x2 – 3x = 0

⇒ x2 – 3x = 0

⇒ x(x – 3) = 0

⇒ x = 0 atau x = 3

Selanjutnya, subtitusikan nilai x = 0 dan x = 3 ke bagian kuadrat yang pertama y = x2.

■ Untuk x = 0 diperoleh:

⇒ y = x2

⇒ y = (0)2

⇒ y = 0

■ Untuk x = 3 diperoleh:

⇒ y = x2

⇒ y = (3)2

⇒ y = 9

Dengan demikian, himpunan penyelesaian SPKK itu adalah {(0, 0), (3, 9)}. Anggota-anggota dari himpunan penyelesaian SPKK tersebut secara geometris dapat ditafsirkan sebagai koordinat titik potong antara parabola y = x2 dengan parabola y = 2x2 – 3x. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah ini.

3. Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya.

y = −2x2

y = x2 + 2x + 1

Jawab:

Subtitusikan bagian kuadrat yang pertama y = −2x2 ke bagian kuadrat yang kedua y = x2 + 2x + 1 sehingga diperoleh:

⇒ −2x2 = x2 + 2x + 1

⇒ 2x2 + x2 + 2x + 1 = 0

⇒ 3x2 + 2x + 1 = 0

Persamaan kuadrat ini tidak mempunyai akar real karena nilai diskriminannya adalah bilangan negatif. Perhatikan perhitungan berikut ini.

D = b2 – 4ac

Dengan a = 3, b = 2 dan c = 1 sehingga:

⇒ D = (2)2 – 4(3)(1)

⇒ D = 4 – 12

⇒ D = –8

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari SPKK tersebut adalah himpunan kosong atau ditulis sebagai {∅}. Tafsiran geometrisnya adalah grafik parabola y = −2x2 dan y = x2 + 2x + 1 tidak berpotongan dan tidak bersinggungan seperti yang diperlihatkan pada gambar berikut ini.

4. Misalkan diketahui SPKK berikut ini.

y = 3x2 + m

y = x2 – 2x – 8

■ Tentukan nilai m agar SPKK tepat mempunyai satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya.

■ Tentukan himpunan penyelesaian yang dimaksud itu.

Jawab:

Banyaknya anggota himpunan penyelesaian dari suatu SPKK ditentukan berdasarkan nilai diskriminan, dengan kriteria sebagai berikut.

1	Jika D > 0, SPKK mempunyai dua himpunan penyelesaian (parabola berpotongan di dua titik).
2	Jika D = 0, SPKK mempunyai satu himpunan penyelesaian (parabola berpotongan di satu titik atau saling bersinggungan).
3	Jika D < 0, SPKK tidak mempunyai himpunan penyelesaian (parabola tidak berpotongan atau bersinggungan).

Dengan demikian, agar SPKK tersebut tepat memiliki satu himpunan penyelesaian maka nilai diskriminan dari persamaan kuadrat gabungan harus sama dengan nol. Persamaan kuadrat gabungan didapat dengan mensubtitusikan persamaan kuadrat y = 3x2 + m ke persamaan kuadrat y = x2 – 2x – 8 sehingga diperoleh:

⇒ 3x2 + m = x2 – 2x – 8

⇒ 3x2 – x2 + 2x + 8 + m = 0

⇒ 2x2 + 2x + (8 + m) = 0

Dari sini kita peroleh persamaan kuadra gabungan, dengan nilai a = 2, b = 2 dan c = 8 + m. Agar persamaan kuadrat ini hanya memiliki satu himpunan penyelesaian maka D = 0, sehingga:

⇒ b2 – 4ac = 0

⇒ (2)2 – 4(2)(8 + m) = 0

⇒ 4 – 8(8 + m) = 0

⇒ 4 – 64 – 8m = 0

⇒ –60 – 8m = 0

⇒ 8m = –60

⇒ m = –60/8

⇒ m = –15/2

⇒ m = –7,5

Dengan demikian nilai m adalah –7,5.

Sekarang masukkan nilai m yang telah diperoleh ke persamaan kuadrat gabungan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut.

⇒ 2x2 + 2x + (8 + m) = 0

⇒ 2x2 + 2x + ((8 + (–7,5)) = 0

⇒ 2x2 + 2x + 0,5 = 0

Untuk menghilangkan desimal, kedua ruas kita kalian 2

⇒ 4x2 + 4x + 1 = 0

Kemudian, kita faktorkan untuk memperoleh nilai x

⇒ (2x + 1)2 = 0

⇒ (2x + 1) = 0

⇒ 2x = −1

⇒ x = −1/2

Selanjutnya, subtitusikan nilai x = −1/2 ke persamaan y = x2 – 2x – 8 sehingga diperoleh:

⇒ y = x2 – 2x – 8

⇒ y = (−1/2)2 – 2(−1/2) – 8

⇒ y = 1/4 + 1 – 8

⇒ y = 1/4 –7

⇒ y = −27/4

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari SPKK tersebut adalah {(−1/2, −27/4)}.

5. Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan y = x2 – 2x – 3 dan y = x2 – 1

Jawab:
y = y
x2 – 2x – 3 = x2 – 1
x2 – 2x – 3 – x2 + 1 = 0
–2x – 2 = 0
–2x = 2

x = –1

Untuk x = –1 maka y = (–1)2 – 1 = 1 – 1 = 0 Jadi H = {(–1, 0}