Soal Cerita SPLTV
SOAL 1:
Sebuah bilangan terdiri dari 3 angka yang jumlahnya 9. Angka ratusan adalah 1/8 dari bilangan yang dibentuk oleh kedua angka yang dibelakang. Angka satuan adalah 1/8 dari bilangan yang dibentuk oleh kedua angka yang di depan. Carilah bilangan tersebut !
Pembahasan :
Misalkan angka-angka bilangan tersebut adalah x, y, dan z
x merupakan ratusan
y merupakan puluhan
z merupakan satuan
maka bilangan yang diminta adalah 100x + 10y + z
x + y + z = 9 ... pers I
x = 1/8 (10y + z) ⇔ 8x - 10y - z = 0 ... pers II
z = 1/8 (10x + y) ⇔ 10x + y - 8z = 0 ... pers III
eliminasi z dari persamaan I dan II
x + y + z = 9
8x - 10y - z = 0
-------------------- +
9x - 9y = 9 (dibagi 9)
x - y = 1 ... pers IV
eliminasi z dari persamaan I dan III
x + y + z = 9 |×8|
10x + y - 8z = 0 |×1|
8x + 8y + 8z = 72
10x + y - 8z = 0
------------------------ +
18x + 9y = 72 (dibagi 9)
2x + y = 8 .... pers V
eliminasi y dari persamaan IV dan V
x - y = 1
2x + y = 8
------------- +
3x = 9
x = 9/3
x = 3
subtitusikan x = 3 ke dalam persamaan IV
x - y = 1
3 - y = 1
- y = 1 - 3
y = -2/-1
y = 2
subtitusikan x = 3 dan y = 2 ke dalam persamaan I
x + y + z = 9
3 + 2 + z = 9
z = 9 - 5
z = 4
Jadi bilangan yang diminta adalah 324
SOAL 2:
Raisa dan Sekar secara bersamaan membutuhkan waktu 12 menit untuk mencetak foto. Sekar dan Aira membutuhkan 15 menit untuk menyelesaikan pekerjaan yg sama . Sedangkan Raisa dan Aira membutuhkan waktu 20 menit untuk mencetak foto. Berapa waktu yg di perlukan oleh Raisa, Sekar, Aira untuk mencetak foto yang sama secara bersama-sama adalah ... menit.
Pembahasan :
Bagian pekerjaan yang bisa diselesaikan dalam 1 menit secara sendiri-sendiri
Raisa = 1/x bagian
Sekar = 1/y bagian
Aira = 1/z bagian
Kita buat persamaan dari penyataan diatas
1/x + 1/y = 1/12 ... pers I
1/y + 1/z = 1/15 ... pers II
1/x + 1/z = 1/20 ... pers III
Jumlahkan persamaan I, II, dan III
1/x + 1/y = 1/12
1/y + 1/z = 1/15
1/x + 1/z = 1/20
------------------------------ +
2(1/x) + 2(1/y) + 2(1/z) = 1/12 + 1/15 + 1/20
2 (1/x + 1/y + 1/z) = 5/60 + 4/60 + 3/60
2 (1/x + 1/y + 1/z) = 12 / 60
1/x + 1/y + 1/z = 12/60 × 1/2
1/x + 1/y + 1/z = 6 / 60
bersama-sama mereka bertiga mengerjakan mencetak foto
1/n = 1/x + 1/y + 1/z
1/n = 6/60
n = 60/6
n = 10
Jadi waktu yg di perlukan oleh Raisa, Sekar, Aira untuk mencetak foto yang sama secara bersama-sama adalah 10 menit.
SOAL 3:
Jumlah tiga bilangan adalah 75. Bilangan pertama lima lebihnya dari jumlah dua bilangan lain. Bilangan kedua sama dengan 14 dari jumlah dua bilangan lain. Bilangan pertamanya adalah ⋯⋅
Pembahasan
Misalkan x,y,z berturut-turut menyatakan bilangan pertama, kedua, dan ketiga.
Jumlah tiga bilangan itu adalah 75. Secara matematis, ditulis
x+y+z=75
Bilangan pertama lima lebihnya dari jumlah dua bilangan lain. Secara matematis, ditulis
x=(y+z)+5⇔x−y−z=5
Bilangan kedua sama dengan 14 dari jumlah dua bilangan lain. Secara matematis, ditulis
y=14(x+z)⇔x−4y+z=0
Dengan demikian, diperoleh SPLTV
⎧⎨⎩x+y+z=75(⋯1)x−y−z=5(⋯2)x−4y+z=0(⋯3)
Eliminasi y dan z sekaligus dari persamaan (1) dan (2).
x+y+z=75x−y−z=5+2x=80x=40
Jadi, bilangan pertamanya adalah 40
SOAL 4:
Andi membeli 1/2 kg gula, 1/3 kg tepung, dan 2/3 kg mentega dan membayar Rp.12.000,00. Jika Ria ingin membeli 3 kg gula, 2 kg tepung, dan 4 kg mentega di toko yang sama. Berapa biaya yang harus dibayar Ria?
Pembahasan:
x = harga gula 1 kg
y = harga tepung 1 kg
z = harga mentega 1 kg
Pernyataan:
1 x + 1 y + 2 z = 12000
2 3 3
Pernyataan:
3x + 2y + 4z =...
KPK 2, 3 =
2 = 2, 4, 6, 8, 12
3 = 3, 6, 9, 12
1 x + 1 y + 2 z = 12000| x 6 | 3x + 2y + 4z = 72000
2 3 3
Jadi, Ria harus membayar Rp. 72.000
SOAL 5:
Sebuah bilangan terdiri atas 3 angka. Jumlah ketiga angkanya sama dengan 16. Jumlah angka pertama dan angka kedua sama dengan angka ketiga dikurangi dua. Nilai bilangan itu sama dengan 21 kali jumlah ketiga angkanya kemudian ditambah dengan 13. Carilah bilangan itu.
Penyelesaian:
Misalkan bilangan itu xyz, x menempati tempat ratusan, y menempati tempat puluhan, dan z menempati tempat satuan. Jadi, nilai bilangan itu 100x + 10y + z. Berdasarkan data pada soal, diperoleh SPLTV sebagai berikut.
x + y + z = 16
x + y = z – 2
100x + 10y + z = 21(x + y + z) + 13
Atau bisa kita ubah menjadi bentuk berikut.
x + y + z = 16
x + y – z = –2
79x – 11y – 20z = 13
Sekarang kita eliminasi variabel y dengan cara berikut.
● Dari persamaan 1 dan 2
x + y + z | = | 16 |
|
x + y – z | = | −2 | − |
2z | = | 18 |
z | = | 9 |
|
● Dari persamaan 1 dan 3
x + y + z | = | 16 | |× 11| | → | 11x + 11y + 11z | = | 176 |
|
79x – 11y – 20z | = | 13 | |× 1| | → | 79x – 11y – 20z | = | 13 | + |
|
|
|
|
| 90x – 9z | = | 189 |
Subtitusikan nilai z = 9 ke persamaan 90x – 9z = 189 sehingga diperoleh:
⇒ 90x – 9z = 189
⇒ 90x – 9(9) = 189
⇒ 90x – 81 = 189
⇒ 90x = 189 + 81
⇒ 90x = 270
⇒ x = 3
Subtitusikan nilai x = 3 dan z = 9 ke persamaan x + y + z = 16 sehingga diperoleh:
⇒ x + y + z = 16
⇒ 3 + y + 9 = 16
⇒ y + 12 = 16
⇒ y = 16 – 12
⇒ y = 4
Jadi, karena nilai x = 3, y = 4 dan z = 9 maka bilangan itu adalah 349.
SOAL 6:
Bentuk kuadrat px2 + qx + r mempunyai nilai 1 untuk x = 0, mempunyai nilai 6 untuk x = 1 dan mempunyai nilai 2 untuk x = −1. Carilah nilai p, q, dan r.
Penyelesaian:
Fungsi kuadrat dalam x dituliskan sebagai berikut.
f(x) = px2 + qx + r
■ Untuk nilai x = 0 maka f(x) = 1 maka:
f(0) = p(0)2 + q(0) + r
1 = r
■ Untuk nilai x = 1 maka f(x) = 6 maka:
f(1) = p(1)2 + q(1) + r
6 = p + q + r
Masukkan nilai r = 1 ke persamaan 6 = p + q = r sehingga diperoleh:
⇒ 6 = p + q + r
⇒ 6 = p + q + 1
⇒ p + q = 5
⇒ p = 5 – q
■ Untuk nilai x = −1 maka f(x) = 2 maka:
f(0) = p(−1)2 + q(−1) + r
2 = p – q + r
Subtitusikan persamaan nilai r = 1 dan persamaan p = 5 – q ke persamaan 2 = p – q + r sehingga diperoleh:
⇒ 2 = p – q + r
⇒ 2 = (5 – q) – q + 1
⇒ 2 = 6 – 2q
⇒ 2q = 6 – 2
⇒ 2q = 4
⇒ q = 2
Terakhir, subtitusikan nilai q = 2 dan nilai r = 1 ke persamaan 2 = p – q + r sehingga kita peroleh nilai p sebagai berikut.
⇒ 2 = p – q + r
⇒ 2 = p – 2 + 1
⇒ 2 = p – 1
⇒ p = 2 + 1
⇒ p = 3
Jadi, nilai p, q, dan r berturut-turut adalah 3, 2, dan 1.
SOAL 7:
Diketahui tiga bilangan a, b, dan c. Rata-rata dari ketiga bilangan itu sama dengan 16. Bilangan kedua ditambah 20 sama dengan jumlah bilangan lainnya. Bilangan ketiga sama dengan jumlah bilangan yang lain dikurang empat. Carilah bilangan-bilangan itu.
Penyelesaian:
Ketiga bilangan adalah a, b, dan c. Ketentuan soal adalah sebagai berikut:
■ Rata-rata ketiga bilangan sama dengan 16 berarti:
(a + b + c)/3 = 16
Apabila kedua ruas kita kalikan 3 maka:
a + b + c = 48
■ Bilangan kedua ditambah 20 sama dengan jumlah bilangan lain berarti:
b + 20 = a + c
atau bisa kita tuliskan sebagai berikut.
a – b + c = 20
■ Bilangan ketiga sama dengan jumlah bilangan lain dikurang 4 berarti:
c = a + b – 4
atau bisa kita tuliskan sebagai berikut.
a + b – c = 4
Sampai sini kita peroleh SPLTV sebagai berikut.
a + b + c = 48
a – b + c = 20
a + b – c = 4
Untuk menyelesaikan SPLTV tersebut, kita akan menggunakan metode campuran yaitu sebagai berikut.
● Eliminasi variabel a pada persamaan 1 dan 2
a + b + c | = | 48 |
|
a – b + c | = | 20 | − |
2b | = | 28 |
b | = | 14 |
|
● Eliminasi variabel a pada persamaan 1 dan 3
a + b + c | = | 48 |
|
a + b – c | = | 4 | − |
2c | = | 44 |
c | = | 22 |
|
Subtitusikan nilai b = 14 dan nilai c = 22 ke persamaan a + b – c = 4 sehingga diperoleh nilai a yaitu sebagai berikut.
⇒ a + b – c = 4
⇒ a + 14 – 22 = 4
⇒ a – 8 = 4
⇒ a = 4 + 8
⇒ a = 12
Jadi, ketiga bilangan tersebut berturut-turut adalah 12, 14, dan 22.
SOAL 8:
Sebuah kios menjual bermacam-macam buah di antaranya jeruk, salak, dan apel. Seseorang yang membeli 1 kg jeruk, 3 kg salak, dan 2 kg apel harus membayar Rp33.000,00. Orang yang membeli 2 kg jeruk, 1 kg salak, dan 1 kg apel harus membayar Rp23.500,00. Orang yang membeli 1 kg jeruk, 2 kg salak, dan 3 kg apel harus membayar Rp36.500,00. Berapakah harga per kilogram salak, harga per kilogram jeruk, dan harga per kilogram apel?
Penyelesaian:
Misalkan harga per kilogram jeruk x, harga per kilogram salak y, dan harga per kilogram apel z. Berdasarkan persoalan di atas, diperoleh sistem persamaan linear tiga variabel berikut.
x + 3y + 2z = 33.000
2x + y + z = 23.500
x + 2y + 3z = 36.500
Untuk menyelesaikan SPLTV tersebut, kita akan menggunakan metode campuran yaitu sebagai berikut.
● Eliminasi variabel x pada persamaan 1 dan 2
x + 3y + 2z | = | 33.000 | |× 2| | → | 2x + 6y + 4z | = | 66.000 |
|
2x + y + z | = | 23.500 | |× 1| | → | 2x + y + z | = | 23.500 | − |
|
|
|
|
| 5y + 3z | = | 42.500 |
● Eliminasi variabel x pada persamaan 2 dan 3
x + 3y + 2z | = | 33.000 |
|
x + 2y + 3z | = | 36.500 | − |
y – z | = | −3.500 |
y | = | z – 3.500 |
|
Subtitusikan y = z – 3.500 ke persamaam 5y + 3z = 42.500 sehingga diperoleh:
⇒ 5y + 3z = 42.500
⇒ 5(z – 3.500) + 3z = 42.500
⇒ 5z – 17.500 + 3z = 42.500
⇒ 8z – 17.500 = 42.500
⇒ 8z = 42.500 + 17.500
⇒ 8z = 42.500 + 17.500
⇒ 8z = 60.000
⇒ z = 7.500
Subtitusikan nilai z = 7.500 ke persamaan y = z – 3.500 sehingga diperoleh nilai y sebagai berikut.
⇒ y = z – 3.500
⇒ y = 7.500 – 3.500
⇒ y = 4.000
Terakhir subtitusikan nilai y = 4.000 dan nilai z = 7.500 ke persamaan x + 3y + 2z = 33.000 sehingga diperoleh nilai x sebagai berikut.
⇒ x + 3y + 2z = 33.000
⇒ x + 3(4.000) + 2(7.500) = 33.000
⇒ x + 12.000 + 15.000 = 33.000
⇒ x + 27.000 = 33.000
⇒ x = 33.000 – 27.000
⇒ x = 6.000
Dengan demikian, harga 1 kg jeruk adalah Rp6.000,00; harga 1 kg salak adalah Rp4.000,00; dan harga 1 kg apel adalah Rp7.500,00.
SOAL 9:
Ali, Badar, dan Carli berbelanja di sebuah toko buku.
Ali membeli dua buah buku tulis, sebuah pensil, dan sebuah penghapus.
Ali harus membayar Rp4.700.
Badar membeli sebuah buku tulis, dua buah pensil, dan sebuah penghapus.
Badar harus membayar Rp4.300
Carli membeli tiga buah buku tulis, dua buah pensil, dan sebuah penghapus.
Carli harus membayar Rp7.100
Berapa harga untuk sebuah buku tulis, sebuah pensil, dan sebuah penghapus?
Penyelesaian:
■ Misalkan bahwa:
Harga untuk sebuah buku tulis adalah x rupiah,
Harga untuk sebuah pensil adalah y rupiah dan
Harga untuk sebuah penghapus adalah z rupiah.
■ Dengan demikian, model matematika yang sesuai dnegan data persoalan di atas adalah sebagai berikut.
2x + y + z = 4.700
x + 2y + z = 4.300
3x + 2y + z = 7.100
yaitu merupakan SPLTV dengan variabel x, y, dan z.
■ Penyelesaian SPLTV itu dapat ditentukan dengan metode subtitusi, metode eliminasi atau gabungan keduanya.
Eliminasi variabel z:
2x + y + z | = | 4.700 |
|
| x + 2y + z | = | 4.300 |
|
x + 2y + z | = | 4.300 | − |
| 3x + 2y + z | = | 7.00 | − |
x – y | = | 400 |
| −2x | = | −2.800 |
y | = | 2.500 |
|
| x | = | 1.400 |
|
■ Subtitusikan nilai x = 1.400 ke persamaan x – y = 400, sehingga diperoleh:
⇒ x – y = 400
⇒ 1.400 – y = 400
⇒ y = 1.400 – 400
⇒ y = 1.000
■ Subtitusikan nilai x = 1.400 dan y = 1.000 ke persamaan 2x + y + z = 4.700, sehingga diperoleh:
⇒ 2x + y + z = 4.700
⇒ 2(1.400) + 1.000 + z = 4.700
⇒ 2.800 + 1.000 + z = 4.700
⇒ 3.800 + z = 4.700
⇒ z = 4.700 – 3.800
⇒ z = 900
Jadi, harga untuk sebuah buku tulis adalah Rp1.400, harga untuk sebuah pensil adalah Rp1.000, dan harga untuk sebuah penghapus adalah Rp900.
SOAL 10:
Suatu bilangan terdiri atas tiga angka. Jumlah ketiga angka itu sama dengan 9. Nilai bilangan itu sama dengan 14 kali jumlah ketiga angkanya. Angka ketiga dikurangi angka kedua dan angka pertama sama dengan 3. Carilah bilangan itu.
Penyelesaian:
Misalkan bilangan yang dimaksud adalah abc, dengan a menempati tempat ratusan, b menempati tempat puluhan dan c menempati tempat satuan. Ketentuan dalam soal adalah sebagai berikut.
■ Jumlah ketiga angka sama dengan 9 berarti:
a + b + c = 9
■ Nilai bilangan itu sama dengan 14 kali jumlah ketiga angkanya berarti:
100a + 10b + c = 14(a + b + c)
100a + 10b + c = 14a + 14b + 14c
100a – 14a + 10b – 14b + c – 14c = 0
86a – 4b – 13c = 0
■ Angka ketiga dikurangi angka kedua dan angka pertama sama dengan 3 berarti:
c – b – a = 3
atau bisa kita tulis sebagai berikut
a + b – c = −3
Dari sini kita peroleh SPLTV sebagai berikut.
a + b + c = 9
86a – 4b – 13c = 0
a + b – c = −3
Untuk menyelesaikan SPLTV tersebut, kita akan menggunakan metode gabungan yaitu sebagai berikut.
● Eliminasi variabel b pada persamaan 1 dan 2
a + b + c | = | 9 | |× 4| | → | 4a + 4b + 4c | = | 36 |
|
86a – 4b – 13c | = | 0 | |× 1| | → | 86a – 4b – 13c | = | 0 | + |
|
|
|
|
| 90a – 9c | = | 36 |
|
|
|
|
| 10a – c | = | 4 |
|
● Eliminasi variabel b pada persamaan 1 dan 3
a + b + c | = | 9 |
|
a + b – c | = | −3 | − |
2c | = | 12 |
c | = | 6 |
|
Subtitusikan nilai c = 6 ke persamaan 10a – c = 4 sehingga diperoleh nilai a sebagai berikut.
⇒ 10a – c = 4
⇒ 10a – 6 = 4
⇒ 10a = 4 + 6
⇒ 10a = 10
⇒ a = 1
Terakhir subtitusikan nilai a = 1 dan c = 6 ke persamaan a + b + c = 9 sehingga kita peroleh nilai b sebagai berikut.
⇒ a + b + c = 9
⇒ 1 + b + 6 = 9
⇒ b + 7 = 9
⇒ b = 9 – 7
⇒ b = 3
Karena nilai a = 1, b = 3 dan c = 6 maka bilangan tersebut adalah 126.
Comments
Post a Comment