SISTEM PERTIDAKSAMAAN KUADRAT-LINEAR DAN KUADRAT-KUADRAT

NAMA : ALYSIA KHARLOTTA

KELAS : X IPS 2

NO. ABSEN : 3

SISTEM PERTIDAKSAMAAN KUADRAT-LINEAR DAN KUADRAT-KUADRAT

1. SISTEM PERTIDAKSAMAAN KUADRAT-LINEAR

Pertidaksamaan linear dua variabel yaitu suatu pertidaksamaan yang memuat dua variabel dengan pangkat tertinggi satu.

Penyelesaian dari pertidaksamaa linier dua variabel ini merupakan gambar daerah pada grafik Catesius (sumbu-XY) yang dibatasi oleh suatu garis linier.

Menentukan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear dan Kuadrat:

- Grafik fungsi linear dan grafik fungsi kuadrat

Syarat utama dalam menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dan kuadrat adalah mampu membuat grafiknya terlebih dahulu.

- Penyelesaian Sistem Pertidaksamaannya

Misalkan ada sistem pertidaksamaan linear dan kuadrat:

{      ax + by > c   

{ dx^2 + ex + fy < g 

Yang namanya penyelesaian adalah semua himpunan (x,y) yang memenuhi semua pertidaksamaan. Jika nilai x dan y yang diminta adalah bilangan real , maka akan ada tak hingga solusinya yang bisa diwakili oleh suatu daerah arsiran yang memenuhi sistem pertidaksamaannya.

Langkah-langkah menentukan daerah arsiran:

i) gambar dulu grafik masing-masing fungsi

ii) Tentukan daerah arsiran setiap pertidaksamaan yang sesuai dengan perminatan soal dengan cara uji sembarang titik.

iii) Daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan adalah daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan dengan cara mengiriskan setiap daerah arsiran setiap pertidaksamaan/carilah daerah yang memuat arsiran terbanyak.

contoh soal :

1. gambarlah daerah penyelesaian pertidaksamaan linier y ≤ –2x + 6, dengan x dan y anggota real.

    

     Jawab:

Apabila daerah penyelesaian pertidaksamaan linier diketahui dan garis batasnya melalui dua titik tertentu, maka pertidaksamaan liniernya dapat ditentukan.

Jika kedua titik yang diketahui berada pada sumbu-X dan sumbu-Y, maka persamaan liniernya ditentukan dengan rumus:

Untuk lebih jelasnya akan diuraikan pada contoh soal berikut:

Sedangkan pertidaksamaan kuadrat dua variabel (x dan y) merupakan suatu pertidaksamaan dengan variabel x memiliki pangkat tertinggi dua

Secara umum bentuk fungsi kuadrat adalah y = ax2 + bx + c dan grafiknya berbentuk parabola. Untuk menggambar grafiknya, diperlukan langkah-langkah tersendiri, yakni :

(1) Menentukan titik potong dengan sumbu x , syaratnya y = 0

(2) Menentukan titik potong dengan sumbu y, syaratnya x = 0

(3) Menentukan titik maksimum/minimum fungsi, yaitu

(4) Menggambar grafik fungsi

Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :

4. Gambarlah daerah penyelesaian pertidaksamaan kuadrat y > x2 – 8x + 12

Jawab

(1) Tititk potong dengan sumbu-X syarat y = 0

x2 – 8x + 12 = 0

(x – 6)(x – 2) = 0

x = 6 dan x = 2 Titik potongnya (2, 0) dan (6, 0)

(2) Tititk potong dengan sumbu-Y syarat x = 0

y = x2 – 8x + 12

y = (0)2 – 8(0) + 12

y = 12 Titik potongnya (0, 12)

(3) Menentukan titik minimum fungsi y = x2 – 8x + 12

(4) Gambar daerah penyelesaiannya (Daerah yang diarsir adalah daerah penyelesaian)

Terkadang suatu fungsi kuadrat dapat ditentukan jika diketahui beberapa unsurnya, yaitu

a. Jika fungsi kuadrat diketahui titik potong dengan sumbu x yaitu (x1 , 0) dan (x2 , 0) maka persamaannya adalah f(x) = a(x – x1)(x – x2)

b. Jika suatu fungsi kuadrat diketahui titik baliknya P(p , q), maka persamaannya adalah f(x) = a(x – p)2 + q

Aturan ini dipakai untuk menyusun pertidaksamaan kuadrat jika diketahui gambar daerah penyelesaiannya.

Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini:

Pada sistem pertidaksamaan linier dan kuadrat, kedua pertidaksamaan tersebut (linier dan kuadrat) dipadukan dalam satu sistem koordinat Cartesius. Sehingga daerah penyelesaiannya adalah irisan dari daerah penyelesaian pertidaksamaan linier dan pertidaksamaan kuadrat.

2. SISTEM PERTIDAKSAMAAN KUADRAT-KUADRAT

SPtDV (Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel) merupakan gabungan dari beberapa pertidaksamaan yang salah satu variabel nya berderajat paling tinggi adalah dua (kuadrat) dan derajat yang paling kecil adalah nol.

Menentukan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Kuadrat dan Kuadrat:

- Penyelesaian sistem pertidaksamaannya:

  Misalkan ada sistem pertidaksamaan kuadrat dan kuadrat:

{ a1x^2 + b1x + c1y < d1

{a2x^2 + b2x + c2y < d2

Yang namanya penyelesaian adalah semua himpunan (x,y) yang memenuhi semua pertidaksamaan. Jika nilai x dan y yang diminta adalah bilangan real , maka akan ada tak hingga solusinya yang bisa diwakili oleh suatu daerah arsiran yang memenuhi sistem pertidaksamaannya.

Langkah-langkah menentukan daerah arsiran:

i) gambar dulu grafik masing-masing fungsi

ii) Tentukan daerah arsiran setiap pertidaksamaan yang sesuai dengan perminatan soal dengan cara uji sembarang titik.

iii) Daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan adalah daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan dengan cara mengiriskan setiap daerah arsiran setiap pertidaksamaan/carilah daerah yang memuat arsiran terbanyak.

Sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel terdiri dari dua pertidaksamaan kuadrat. Salah satu metoda yang paling populer dalam menyelesaikannya adalah dengan metoda grafik. Langkah-langkah penyelesaian dengan metoda ini adalah sebagai berikut:
1. Anggap kedua pertidaksamaan kuadrat tersebut sebagai fungsi kuadrat, dan gambarkan grafik-grafiknya dalam tata koordinat Cartesius.
2. Gunakan titik-titik uji untuk menentukan daerah penyelesaian dari masing-masing pertidaksamaan, lalu kemudian arsirlah daerah penyelesaian masing-masing pertidaksamaan tersebut dengan warna atau arah garis yang berbeda-beda.
3. Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah irisan kedua daerah pertidaksamaan itu.

contoh soal:

1. Gambarlah kedua pertidaksamaan kuadrat berikut ini dalam satu sistem koordinat Cartesius, kemudian tentukan daerah penyelesaiannya
y > x2 – 9
y ≤ –x2 + 6x – 8

Jawab

a. Gambar daerah penyelesaian pertidaksamaan y > x2 – 9

(1) Tititk potong dengan sumbu-X syarat y = 0
x2 – 9 = 0
(x + 3)(x – 3) = 0
x = –3 dan x = 3
Titik potongnya (–3, 0) dan (3, 0)
(2) Tititk potong dengan sumbu-Y syarat x = 0
y = x2 – 9
y = (0)2 – 9
y = –9
Titik potongnya (0, –9)

(3) Menentukan titik minimum fungsi y = x2 – 9

(4) Gambar daerah penyelesaiannya
(Daerah yang diarsir adalah daerah penyelesaian)


b. Gambar daerah penyelesaian pertidaksamaan y ≤ –x2 + 6x – 8
(1) Tititk potong dengan sumbu-X syarat y = 0
–x2 + 6x – 8 = 0
x2 – 6x + 8 = 0
(x – 4)(x – 2) = 0
x = 4 dan x = 2
Titik potongnya (4, 0) dan (2, 0)

(2) Tititk potong dengan sumbu-Y syarat x = 0
y = –x2 + 6x – 8
y = –(0)2 + 6(0) – 8
y = –8
Titik potongnya (0, –8)
(3) Menentukan titik maksimum fungsi y = –x2 + 6x – 8



(4) Gambar daerah penyelesaiannya
(Daerah yang diarsir adalah daerah penyelesaian)


Daerah penyelesaian kedua pertidaksamaan itu adalah irisan dua daerah penyelesaian masing-masing pertidaksamaannya, yakni: