Persamaan Kuadrat-Linear dan Kuadrat-Kuadrat

NAMA : ALYSIA KHARLOTTA

KELAS : X IPS 2

NO. ABSEN : 3

Sistem Persamaan Kuadrat-Linear dan Kuadrat-Kuadrat

• Sistem Persamaan Kuadrat-Linear

Adalah sistem persamaan yang terdiri dari persamaan linear dan persamaan kuadrat. Sistem persamaan linear dan kuadrat bisa diselesaikan dengan menggunakan metode grafik atau metode substitusi. 

Cara penyelesaian:

- Metode Substitusi

1. Subtitusikan y = ax+b menjadi y = px2 + qx + r sehingga akan terbentuk persamaan kuadrat.
2. Menentukan akar-akar persamaan kuadrat yang terbentuk yaitu x1 dan x2.
3. Subtitusikan x1 dan juga x2 ke dalam bentuk persamaan bentuk linear untuk memperoleh y1 dan y2.
4. Himpunan penyelesaiannya yaitu {(x1,y1),(x2,y2)}.

Himpunan penyelesaian antara persamaan bentuk linear dengan bentuk kuadrat mempunyai tiga kemungkinan, diantaranya yaitu:

1. Apabila D>0, maka garis serta parabola berpotongan di dua titik yang di mana adalah himpunan penyelesaiannya.
2. Apabila D = 0, maka garis serta parabola berpotongan di satu titik yang di mana adalah himpunan penyelesaiannya.
3. Apabila D < 0, maka garis seta parabola tidak berpotongan sehingga tidak memiliki himpunan penyelesaian atau { }.

Metode Substitusi

Berikut ini adalah contoh dari sistem persamaan dua variabel:

x – y = -4 ……………. Persamaan 1

x2 – y = -2 ……………. Persamaan 2

Penyelesaian dari sistem ini adalah pasangan berurutan yang di mana akan memenuhi masing-masing persamaan dalam sistem tersebut. Proses dalam menemukan himpunan dalam metode atau penyelesaian ini disebut sebagai menyelesaikan sistem persamaan.

Sebagai contoh, pasangan berurutan (–1, 3) merupakan salah satu selesaian dari sistem ini. Untuk menguji hal ini, maka akan kita substitusi –1 ke x serta 3 ke y dalam masing-masing persamaan.

Menguji (–1, 3) ke dalam Persamaan 1 serta Persamaan 2:

x – y = -4 → Tulis persamaan 1.

-1 – 3 = -4 → Substitusi  -1 ke x dan 3 ke y.

-4 = -4 → Penyelesaian teruji dalam persamaan 1.

x2 – y = -2 → Tulis persamaan 2.

(-1)2 – 3 = -2 → Substitusi  -1 ke x dan 3 ke y.

1 – 3 = -2 → Sederhanakan.

-2 = -2 → Penyelesaian teruji dalam persamaan 2.

Di sini akan kita pelajari dua macam cara dalam menyelesaikan sistem persamaan linear serta kuadrat dua variabel. Kita mulai dengan menggunakan metode substitusi.

Metode Substitusi

1. Selesaikan satu persamaan, sehingga akan ada satu variabel pada persamaan tersebut yang dinyatakan ke dalam bentuk variabel lainnya.
2. Substitusi bentuk yang diperoleh dalam tahap pertama ke dalam persamaan lainnya untuk memperoleh persamaan dalam satu variabel.
3. Selesaikan persamaan yang didapatkan pada tahap ke dua.
4. Substitusi balik nilai yang kita dapatkan di tahap tiga ke dalam persamaan yang didapatkan di tahap pertama guna menemukan nilai variabel lainnya.
5. Uji selesaian ini apakah memenuhi masing-masing persamaan dalam sistem.

- Metode Grafik

Caranya adalah dengan menggambar grafik kedua persamaan pada satu koordinat kartesius dan penyelesaiannya adalah titik potong kedua grafik (jika kedua grafik berpotongan). Agar diperoleh penyelesaian yang akurat, perlu diperhatikan ketika menggambar koordinat kartesiusnya. Pastikan satuan pada kedua sumbu sama dan konsisten.

Perhatikan bahwa garis dan parabola pada gambar di atas berpotongan di dua titik, yaitu di titik (-2,0) dan titik (5,7). Kedua titik ini merupakan penyelesaian dari sistem persamaan linear dan kuadrat pada contoh di atas.

- Contoh Soal

1. Carilah himpunan penyelesaian SPLK berikut, kemudian gambarkan sketsa tafsiran geometerinya.

x + y + 2 = 0

y = x2 – x – 2

Penyelesaian:

Persamaan x + y + 2 = 0 dapat kita tuliskan sebagai berikut.

y = −x – 2

Subtitusikan nilai y = −x – 2  ke persamaan y = x2 – x – 2 sehingga diperoleh:

⇒ −x – 2 = x2 – x – 2

⇒ x2 – x + x – 2 + 2 = 0

⇒ x2 = 0

⇒ x = 0

Subtitusikan nilai x = 0 ke persamaan y = −x – 2 sehingga diperoleh:

⇒ y = −(0) – 2

⇒ y = –2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(0, −2)}. Tafsiran geometrinya berupa titik singgung antara garis lurus dan kurva parabola, yaitu di titik (0, −2) seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut ini.

 

2. Diberikan dua buah persamaan yaitu persamaan linear dua variable dan kuadrat sebagai berikut:

(i) y = 2x + 3

(ii) y = x² − 4x + 8

Tentukan himpunan penyelesaian (Hp) dari kedua persamaan tersebut di atas!

Pembahasan:

Substitusikan y dari persamaan (i) ke y pada persamaan (ii), atau sebaliknya dari (ii) ke (i), lanjutkan dengan operasi aljabar.
x² − 4x + 8 = 2x + 3
x² − 4x + 8 − 2x − 3 = 0
x² − 6x + 5 = 0
Berikutnya faktorkan:
x² − 6x + 5 = 0
(x − 1)(x − 5) = 0
Dapatkan nilai x yang pertama:
x − 1 = 0
x = 1
Dapatkan nilai x yang kedua:
x − 5 = 0
x = 5
Berikutnya mencari nilai-nilai dari y dengan substitusi nilai x ke persamaan (i):
Untuk x = 1 maka
y = 2x + 3
y = 2(1) + 3
y = 2 + 3
y = 5
Dari sini didapatkan pasangan (x, y) yaitu (1, 5)
Untuk x = 5 maka

y = 2x + 3
y = 2(5) + 3
y = 10 + 3
y = 13
Dari sini didapatkan pasangan (x, y) yaitu (5, 13)
Sehingga himpunan penyelesaiannya Hp :{(1, 5), (5, 13)}

3. Diketahui sistem persamaan

y = x2 + px - 3
y = x - 4
Tentukan nilai p agar sistem persamaan di atas hanya mempunya satu penyelesaian saja!

Penyelesaian:

y = x2 + px - 3
y = x - 4
Substitusi y = x2 + px - 3 ke y = x - 4 maka,
x2 + px - 3 = x - 4
x2 + px - 3 - x + 4 = 0
x2 + px - x + 1 = 0
x2 + (p - 1)x + 1 = 0
Agar mempunyai penyelesaian maka nilai diskrimanan dari persamaan kuadrat di atas adalah nol (D = 0) maka,
(p - 1)2 - 4(1)(1) = 0
p2 - 2p + 1 - 4 = 0
p2 - 2p - 3 = 0
(p + 1)(p - 3) = 0
p + 1 = 0 atau p - 3 = 0
p = -1                  p = 3
Jadi, nilai p agar sistem persamaannya memiliki satu penyelesaian adalah p = -1 atau p = 3

• Sistem Persamaan Kuadrat-Kuadrat

Sistem persamaan kuadrat dan kuadrat atau disingkat dengan SPKK merupakan sistem persamaan yang terdiri atas dua persamaan kuadrat yang masing-masing memuat dua variabel. SPKK memiliki beberapa macam bentuk. Bentuk yang paling sederhana, yaitu kedua persamaan kuadrat berbentuk eksplisit. Bentuk umumnya adalah sebagai berikut.

y = ax2 + bx + c ……………. (bagian kuadrat pertama)

y = px2 + qx + r ……………. (bagian kuadrat kedua)

Dengan a, b, c, p, q, dan r merupakan bilangan-bilangan real.

Misalkan terdapat SPKK sebagai berikut.

y = x2 ……………………… pers. (1)

y = x2 – 2x ……………….. Pers. (2)

Subtitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (2) sehingga diperoleh:

⇒ x2 = x2 – 2x

⇒ 2x = x2 – x2

⇒ 2x = 0

⇒ x = 0

Untuk x = 0 maka y = 0

Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di atas adalah {(0, 0)}.

Secara geometris, anggota himpunan penyelesaian SPKK di atas adalah titik potong antara kurva yang berbentuk parabola dengan persamaan y = x2 dan y = x2 – 2x seperti yang tampak pada gambar berikut ini.

Secara umum, untuk memperoleh penyelesaian SPKK dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:

Langkah 1: Subtitusikan bagian kuadrat persamaan pertama ke bagian kuadrat yang kedua atau sebaliknya sehingga diperoleh persamaan kuadrat baru.

Langkah 2: Selesaikan persamaan kuadrat baru yang diperoleh pada langkah pertama.

Langkah 3: Subtitusikan nilai x yang diperoleh pada langkah kedua ke persamaan pertama atau persamaan kedua. Untuk mempermudah perhitungan, silahkan kalian pilih persamaan kuadrat yang lebih sederhana.

Banyaknya penyelesaian yang diperoleh ditentukan oleh banyaknya nilai x pada penyelesaian langkah kedua. Dengan demikian, nilai itu bergantung pada nilai diskriminannya.

1	Jika D > 0, SPKK mempunyai dua himpunan penyelesaian (parabola berpotongan di dua titik).
2	Jika D = 0, SPKK mempunyai satu himpunan penyelesaian (parabola berpotongan di satu titik atau saling bersinggungan).
3	Jika D < 0, SPKK tidak mempunyai himpunan penyelesaian (parabola tidak berpotongan atau bersinggungan).

- Contoh Soal:

1. Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya.

y = x2 – 1

y = x2 – 2x – 3

Jawab:

Subtitusikan bagian kuadrat yang pertama y = x2 – 1 ke bagian kuadrat yang kedua y = x2 – 2x – 3 sehingga diperoleh:

⇒ x2 – 1 = x2 – 2x – 3

⇒ x2 – x2 = –2x – 3 + 1

⇒ 2x = –2

⇒ x = –1

Selanjutnya, subtitusikan nilai x = –1 ke persamaan y = x2 – 1 sehingga diperoleh:

⇒ y = x2 – 1

⇒ y = (–1)2 – 1

⇒ y = 1 – 1

⇒ y = 0

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari SPKK tersebut adalah {(–1, 0)}. Tafsiran geometrinya adalah grafik parabola y = x2 – 1 dan parabola y = x2 – 2x – 3 berpotongan di satu titik, yaitu di (–1, 0). Perhatikan gambar di bawah ini.

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan

y = x2 + 4x - 7
y = 9 - x2

Penyelesaian:

y = x2 + 4x - 7
y = 9 - x2
Substitusi persamaan kuadrat y = x2 + 4x - 7 ke persamaan kuadrat y = 9 - x2 maka,

x2 + 4x - 7 = 9 - x2
x2 + 4x - 7 - 9 + x2 = 0
2x2 + 4x -16 = 0
x2 + 2x - 8 = 0                               (kedua ruas dibagi 2)
(x + 4)(x - 2) = 0
x + 4 = 0 atau x - 2 = 0
x = -4                   x = 2
Substitusikan nilai x ke dalam salah satu persamaan dalam hal ini digunakan y = 9 - x2
x = -4 --> y = 9 - (-4)2 = 9 - 16 = -7
x = 2 --> y = 9 - 22 = 9 - 4 = 5

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(-4, -7), (2, 5)}

3. Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya.

y = −2x2

y = x2 + 2x + 1

Jawab:

Subtitusikan bagian kuadrat yang pertama y = −2x2 ke bagian kuadrat yang kedua y = x2 + 2x + 1 sehingga diperoleh:

⇒ −2x2 = x2 + 2x + 1

⇒ 2x2 + x2 + 2x + 1 = 0

⇒ 3x2 + 2x + 1 = 0

Persamaan kuadrat ini tidak mempunyai akar real karena nilai diskriminannya adalah bilangan negatif. Perhatikan perhitungan berikut ini.

D = b2 – 4ac

Dengan a = 3, b = 2 dan c = 1 sehingga:

⇒ D = (2)2 – 4(3)(1)

⇒ D = 4 – 12

⇒ D = –8

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari SPKK tersebut adalah himpunan kosong atau ditulis sebagai {∅}. Tafsiran geometrisnya adalah grafik parabola y = −2x2 dan y = x2 + 2x + 1 tidak berpotongan dan tidak bersinggungan seperti yang diperlihatkan pada gambar berikut ini.