Persamaan Linear Tiga Variabel - Alysia Kharlotta - X IPS 2 - No. Absen 3

 Persamaan Linear Tiga Variabel Bentuk Pecahan

Sistem persamaan linear tiga variabel atau disingkat SPLTV adalah suatu persamaan matematika yang terdiri atas 3 persamaan linear berderajat satu yang masing-masing persamaan bervariabel tiga (misal x, y dan z). Dengan demikian, bentuk umum dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel dalam x, y, dan z dapat ditulis sebagai berikut:

ax + by + cz = d	atau	a1x + b1y + c1z = d1
ex + fy + gz = h		a2x + b2y + c2z = d2
ix + jy + kz = l		a3x + b3y + c3z = d3

Dengan a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, dan l atau a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3, dan d3 merupakan bilangan-bilangan real.

Keterangan:

a, e, I, a1, a2, a3 = koefisien dari x

b, f, j, b1, b2, b3 = koefisien dari y

c, g, k, c1, c2, c3 = koefisien dari z

d, h, i, d1, d2, d3 = konstanta

x, y, z                   = variabel atau peubah

Namun dalam soal-soal matematika yang berhubungan dengan sistem persamaan linear tiga variabel terkadang kita menemui SPLTV yang berbentuk pecahan seperti sistem persamaan linear berikut ini.

x	−	y	−	z	=	1
		2		4

x	−	y	+	z	=	−1
3				2

−x	+	y	−	z	=	4
2		4		3		3

Bagaimana menentukan himpunan penyelesaian SPLTV yang berbentuk pecahan? Caranya hanya perlu mengubah SPLTV pecahan menjadi bentuk baku. Setelah bentuk baku diperoleh, selanjutnya kita selesaikan dengan menggunakan salah satu dari metode-metode berikut ini.

Contoh soal & Penyelesaian:

x	−	y	−	z	=	1
		2		4

x	−	y	+	z	=	−1
3				2

−x	+	y	−	z	=	4
2		4		3		3

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.

- Ubah persamaan yang memuat pecahan menjadi bentuk baku. Caranya adalah dengan mengalikan kedua ruas dengan KPK dari penyebut-penyebut pecahannya yaitu sebagai berikut.

Persamaan 1

x	−	y	−	z	=	1
		2		4

KPK dari 1, 2 dan 4 adalah 4, oleh karena itu, agar menjadi bentuk baku, kita kalikan kedua ruas dengan angka 4 sehingga hasilnya adalah sebagai berikut.

4x – 2y – z = 4

Persamaan 2

x	−	y	+	z	=	−1
3				2

KPK dari 3, 1, dan 2 adalah 6 oleh karena itu, agar menjadi bentuk baku, kita kalikan kedua ruas dengan angka 6 sehingga hasilnya adalah sebagai berikut.

2x – 6y + 3z = −6

Persamaan 3

−x	+	y	−	z	=	4
2		4		3		3

KPK dari 2, 4 dan 3 adalah 12 oleh karena itu, agar menjadi bentuk baku, kita kalikan kedua ruas dengan angka 12 sehingga hasilnya adalah sebagai berikut.

−6x + 3y – 4z = 16

Dengan demikian, bentuk baku dari sistem persamaan linear tiga variabel bentuk pecahan di atas adalah sebagai berikut.

4x – 2y – z = 4 ……………….. Pers. (1)

2x – 6y + 3z = −6 ………….. Pers. (2)

−6x + 3y – 4z = 16 .……….. Pers. (3)

-Setelah bentuk SPLTV kita dapatkan, langkah selanjutnya adalah menentukan himpunan penyelesaian dari SPLTV tersebut dengan menggunakan salah satu dari 5 metode penyelesaian SPLTV di atas. Misalkan kita akan menggunakan metode campuran (eliminasi + subtitusi), sehingga penyelesaiannya adalah sebagai berikut.

1.  Metode Subtitusi

      Metode substitusi adalah metode penyelesaian sistem persamaan linear dengan cara              menyubstitusikan nilai salah satu variabel dari satu persamaan ke persamaan lain.

       

Penyelesaian:

Dari SPLDV pertama, kita peroleh persamaan x sebagai berikut.

⇒ 10x – 6z = 18

⇒ 10x = 18 + 6z

Lalu kita subtitusikan persamaan y tersebut ke SPLDV kedua sebagai berikut.

⇒ −10x − 5z = 26

⇒ −(18 + 6z) − 5z = 26

⇒ −18 − 6z − 5z = 26

⇒ − 6z − 5z = 26 + 18

⇒ −11z = 44

⇒ z = −4

Kemudian, untuk menentukan nilai x, kita subtitusikan nilai z = −4 ke dalam salah satu SPLDV, misalnya persamaan 10x – 6z = 18 sehingga kita peroleh:

⇒ 10x – 6z = 18

⇒ 10x – 6(−4) = 18

⇒ 10x + 24 = 18

⇒ 10x = 18 – 24

⇒ 10x = –6

⇒ x = –6/10

⇒ x = –3/5

Langkah terakhir yaitu menentukan nilai y. Untuk menentukan nilai y, kita subtitusikan nilai x = –3/5 dan z = x = –4 ke dalam salah satu SPLTV di atas, misalnya persamaan 4x – 2y – z = 4 sehingga kita peroleh:

⇒ 4x – 2y – z = 4

⇒ 4(–3/5) – 2y – (–4) = 4

⇒ –12/5 – 2y + 4 = 4

⇒ –2y = 4 – 4 + 12/5

⇒ –2y = 12/5

⇒ y = –12/10

⇒ y = –6/5

⇒ y = –11/5

Dengan demikian kita peroleh nilai x = –3/5, y = –11/5 dan z = –4  sehingga himpunan penyelesaian SPLTV di atas adalah {(–3/, –11/5, –4)}.  

2. Metode Eliminasi

     Langkah 1:

     Pilih bentuk peubah (variabel) yang paling sederhana.

    Langkah 2:

    Eliminasi atau hilangkan salah satu peubah (misal x) sehingga diperoleh SPLDV.

    Langkah 3:

    Eliminasi salah satu peubah SPLDV (misal y) sehingga diperoleh nilai salah satu peubah.

    Langkah 4:

    Eliminasi peubah lainnya (yaitu z) untuk memperoleh nilai peubah yang kedua.

    Langkah 5:

    Tentukan nilai peubah ketiga (yaitu x) berdasarkan nilai (y dan z) yang diperoleh.

    Contoh Soal:

Dengan menggunakan metode eliminasi, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel berikut ini.

x + 3y + 2z = 16

2x + 4y – 2z = 12

x + y + 4z = 20

Jawab:

Langkah pertama, tentukan variabel mana yang akan di eliminasi terlebih dulu. Untuk mempermudah, lihat variabel yang paling sederhana. Dari ketiga SPLTV di atas, variabel yang paling sederhana adalah x sehingga kita akan mengeliminasi x terlebih dulu. Untuk menghilangkan variabel x, maka kita harus samakan koefisien masing-masing x dari ketiga persamaan. Perhatikan penjelasan berikut.

x + 3y + 2z = 16 → koefisien x = 1

2x + 4y – 2z = 12 → koefisien x = 2

x + y + 4z = 20 → koefisien x = 1

Agar ketiga koefisien x sama, maka kalikan persamaan pertama dan persamaan ketiga dengan 2 sedangkan persamaan kedua kita kalikan 1. Prosesnya adalah sebagai berikut.

x + 3y + 2z	=	16	|× 2|	→	2x + 6y + 4z	=	32
2x + 4y – 2z	=	12	|× 1|	→	2x + 4y – 2z	=	12
x + y + 4z	=	20	|× 2|	→	2x + 2y + 8z	=	40

Setelah koefisien x ketiga persamaan sudah sama, maka langsung saja kurangkan atau jumlahkan persamaan pertama dengan persamaan kedua dan persamaan kedua dengan persamaan ketiga sedemikian rupa hingga variabel x hilang. Prosesnya seperti di bawah ini.

■ Dari persamaan pertama dan kedua:

2x + 6y + 4z	=	32
2x + 4y – 2z	=	12	−
2y + 6z	=	20

■ Dari persamaan kedua dan ketiga:

2x + 4y – 2z	=	12
2x + 2y + 8z	=	40	−
2y – 10z	=	–28

Dengan demikian, kita peroleh SPLDV sebagai berikut.

2y + 6z = 20

2y – 10z = –28

Langkah selanjutnya adalah selesaikan SPLDV di atas dengan metode eliminasi. Pertama, tentukan nilai y dengan mengeliminasi z. Untuk dapat mengeliminasi variabel z, maka harus menyamakan koefisien z dari kedua persamaan. Perhatikan penjelasan berikut.

2y + 6z = 20 → koefisien z = 6

2y – 10z = –28 → koefisien z = –10

Agar kedua koefisien z sama, maka persamaan pertama kali dengan 5 sedangkan persamaan kedua kali dengan 3. Setelah itu, kedua persamaan di jumlahkan. Prosesnya adalah sebagai berikut.

2y + 6z	=	20	|× 5|	→	10y + 30z	=	100
2y – 10z	=	–28	|× 3|	→	6y – 30z	=	–84	+
					16y	=	16
					y	=	1

Kedua, tentukan nilai z dengan mengeliminasi y. Untuk dapat mengeliminasi variabel y, maka kita juga harus menyamakan koefisien y dari kedua persamaan. Berhubung koefisien y kedua persamaan sudah sama, maka kita bisa langsung mengurangkan kedua persamaan tersebut. Prosesnya adalah sebagai berikut.

2y + 6z	=	20
2y – 10z	=	–28	−
16z	=	48
z	=	3

Sampai pada tahap ini kita sudah memperoleh nilai y = 1 dan z = 3. Langkah terakhir, untuk mendapatkan nilai x, kita subtitusikan nilai y dan z tersebut ke dalam salah satu SPLTV, misalnya persamaan x + y + 4z = 20 sehingga kita peroleh:

⇒ x + y + 4z = 20

⇒ x + 1 + 4(3) = 20

⇒ x + 1 + 12 = 20

⇒ x + 13 = 20

⇒ x = 20 – 13

⇒ x = 7

Dengan demikian kita peroleh nilai x = 7, y = 1 dan z = 3 sehingga himpunan penyelesaian SPLTV di atas adalah {(7, 1, 3)}

  

3. Metode Gabungan atau campuran

     Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel di bawah ini dengan menggunakan metode gabungan.

x + 3y + 2z = 16

2x + 4y – 2z = 12

x + y + 4z = 20

Jawab:

Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel di bawah ini dengan menggunakan metode gabungan.

x + 3y + 2z = 16

2x + 4y – 2z = 12

x + y + 4z = 20

Jawab:

■ Metode Subtitusi (SPLTV)

Pertama, kita tentukan dulu persamaan yang paling sederhana. Dari ketiga persamaan yang ada, persamaan ketiga lebih sederhana. Dari persamaan ketiga, nyatakan variabel z sebagai fungsi y dan z sebagai berikut.

⇒ x + y + 4z = 20

⇒ x = 20 – y – 4z ............... Pers. (1)

Kemudian, subtitusikan persamaan (1) di atas ke dalam SPLTV pertama.

⇒ x + 3y + 2z = 16

⇒ (20 – y – 4z) + 3y + 2z = 16

⇒ 2y – 2z + 20 = 16

⇒ 2y – 2z = 16 – 20

⇒ 2y – 2z = –4

⇒ y – z = –2 ............... Pers. (2)

Lalu, subtitusikan persamaan (1) di atas ke dalam SPLTV kedua.

⇒ 2x + 4y – 2z = 12

⇒ 2(20 – y – 4z) + 4y – 2z = 12

⇒ 40 – 2y – 8z + 4y – 2z = 12

⇒ 2y – 10z + 40 = 12

⇒ 2y – 10z = 12 – 40

⇒ 2y – 10z = –28  ............... Pers. (3)

Dari persamaan (2) dan persamaan (3) kita peroleh SPLDV y dan z berikut.

y – z = –2

2y – 10z = –28 

■ Metode Eliminasi (SPLDV)

Untuk mengeliminasi y, maka kita kalikan SPLDV pertama dengan 2 agar koefisien y kedua persamaan sama. Selanjutnya kita selisihkan kedua persamaan sehingga kita peroleh nilai z sebagai berikut.

y – z	=	–2	|× 2|	→	2y – 2z	=	–4
2y – 10z	=	–28	|× 1|	→	2y – 10z	=	–28	−
					8z	=	24
					z	=	3

Untuk mengeliminasi z, maka kalikan SPLDV pertama dengan 10 agar koefisien z kedua persamaan sama. Selanjutnya kita kurangkan kedua persamaan sehingga diperoleh nilai y sebagai berikut.

y – z	=	–2	|× 10|	→	10y – 10z	=	–20
2y – 10z	=	–28	|× 1|	→	2y – 10z	=	–28	−
					8y	=	8
					y	=	1

Sampai tahap ini, kita peroleh nilai y = 1 dan z = 3. Langkah terakhir yaitu menentukan nilai x. Cara menentukan nilai x adalah dengan memasukkan nilai y dan z tersebut ke dalam salah satu SPLTV, misalnya x + 3y + 2z = 16 sehingga kita peroleh:

⇒ x + 3y + 2z = 16

⇒ x + 3(1) + 2(3) = 16

⇒ x + 3 + 6 = 16

⇒ x + 9 = 16

⇒ x = 16 – 9

⇒ x = 7

Dengan demikian kita peroleh nilai x = 7, y = 1 dan z = 3 sehingga himpunan penyelesaian SPLTV di atas adalah {(7, 1, 3)}.

4. Metode Invers Matriks

Invers matrik dapat digunakan untuk mempermudah dalam menentukan himpunan penyelesaian suatu sistem persamaan linear baik itu dua variabel maupun tiga variabel. Untuk menentukan penyelesaian SPLTV dengan invers matriks, terlebih dahulu kita ubah bentuk umum SPLTV menjadi bentuk matriks. Perhatikan penjelasan berikut.

Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel adalah sebagai berikut.

a1x + b1y + c1z = d1 …………… Pers. (1)

a2x + b2y + c2z = d2 …………… Pers. (2)

a3x + b3y + c3z = d3 …………… Pers. (3)

Persamaan (1), (2), dan (3) di atas dapat kita susun ke dalam bentuk matriks seperti di bawah ini.

AX = B

Matriks A memuat koefisien-koefisien ketiga persamaan. Matriks X memuat variabel x, y, dan z. Sedangkan matriks B memuat konstanta-konstanta ketiga persamaan linear. Dengan demikian, bentuk matriks AX = B adalah sebagai berikut.

a1	b1	c1		x	=	d1
a2	b2	c2		y		d2
a3	b3	c3		z		d3

Tujuan menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel adalah untuk menentukan nilai x, y, dan z yang memenuhi persamaan tersebut. Oleh karena itu, bentuk matriks AX = B harus kita ubah menjadi bentuk invers seperti berikut.

AX = B

X = A-1B

A-1 merupakan invers matriks A. Dengan menggunakan rumus invers matriks di atas, maka bentuk matriks dari X = A-1B adalah sebagai berikut.

x	=	1		K11	K21	K31		d1
y				K12	K22	K32		d2
		(a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3) – (a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1)
z				K13	K23	K33		d3

Nah, rumus inilah yang digunakan untuk menentukan nilai x, y, dan z dari sistem persamaan linear tiga variabel.

5. Metode Determinan

Langkah-langkah untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLTV dengan metode determinan adalah sebagai berikut.

■ Langkah Pertama, ubahlah sistem persamaa linear tiga variabel ke dalam bentuk matriks, yaitu sebagai berikut.

Misalkan terdapat sistem persamaan berikut.

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

persamaan di atas kita ubah menjadi bentuk berikut

A . X = B …………… Pers. (1)

Dengan:

A	=	a1	b1	c1
		a2	b2	c2
		a3	b3	c3

X	=	x
		y
		z

B	=	d1
		d2
		d3

Sehingga persamaan 1 di atas menjadi bentuk matriks berikut.

a1	b1	c1		x	=	d1
a2	b2	c2		y		d2
a3	b3	c3		z		d3

■ Langkah Kedua, tentukan nilai determinan matriks A (D), determinan x (Dx), determinan y (Dy), dan determinan z (Dz) dengan persamaan berikut.

D	=	a1	b1	c1	a1	b1	=	(a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3) – (a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1)
		a2	b2	c2	a2	b2
		a3	b3	c3	a3	b3

D adalah determinan dari matriks A.

Dx	=	d1	b1	c1	d1	b1	=	(d1b2c3 + b1c2d3 + c1d2b3) – (d3b2c1 + b3c2d1 + c3d2b1)
		d2	b2	c2	d2	b2
		d3	b3	c3	d3	b3

Dx adalah determinan dari matriks A yang kolom pertama diganti dengan elemen-elemen matriks B.

Dy	=	a1	d1	c1	a1	d1	=	(a1d2c3 + d1c2a3 + c1a2d3) – (a3d2c1 + d3c2a1 + c3a2d1)
		a2	d2	c2	a2	d2
		a3	d3	c3	a3	d3

Dy adalah determinan dari matriks A yang kolom kedua diganti dengan elemen-elemen matriks B.

Dz	=	a1	b1	d1	a1	b1	=	(a1b2d3 + b1d2a3 + d1a2b3) – (a3b2d1 + b3d2a1 + d3a2b1)
		a2	b2	d2	a2	b2
		a3	b3	d3	a3	b3

Dz adalah determinan dari matriks A yang kolom ketiga diganti dengan elemen-elemen matrik

■ Langkah Ketiga, tentukan nilai x dan y dengan persamaan berikut.

x	=	Dx
		D

y	=	Dy
		D

z	=	Dz
		D

Contoh Soal:

Dengan menggunakan metode determinan, tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut ini.

2x + y + z = 12

x + 2y – z = 3

3x – y + z = 11

Jawab:

■ Mengubah SPLTV ke bentuk matriks

Pertama, kita ubah sistem persamaan yang ditanyakan dalam soal ke bentuk matriks berikut.

2	1	1		x	=	12
1	2	−1		y		3
3	−1	1		z		11

Kedua, kita tentukan nilai D, Dx, Dy dan Dz dengan ketentuan seperti pada langkah-langkah di atas.

■ Menentukan nilai D

D	=	2	1	1	2	1
		1	2	−1	1	2
		3	−1	1	3	−1

D = [(2)(2)(1) + (1)(−1)(3) + (1)(1)(−1)] – [(3)(2)(1) + (−1)(−1)(2) + (1)(1)(1)]

D = [4 – 3 – 1] − [6 + 2 + 1]

D = 0 − 9

D = −9

■ Menentukan nilai Dx

Dx	=	12	1	1	12	1
		3	2	−1	3	2
		11	−1	1	11	−1

Dx = [(12)(2)(1) + (1)(−1)(11) + (1)(3)(−1)] – [(11)(2)(1) + (−1)(−1)(12) + (1)(3)(1)]

Dx = [24 – 11 – 3] − [22 + 12 + 3]

Dx = 10 − 37

Dx = −27

■ Menentukan nilai Dy

Dy	=	2	12	1	2	12
		1	3	−1	1	3
		3	11	1	3	11

Dy = [(2)(3)(1) + (12)(−1)(3) + (1)(1)(11)] – [(3)(3)(1) + (11)(−1)(2) + (1)(1)(12)]

Dy = [6 – 36 + 11] − [9 − 22 + 12]

Dy = −19 – (–1)

Dy = −18

■ Menentukan nilai Dz

Dz	=	2	1	12	2	1
		1	2	3	1	2
		3	−1	11	3	−1

Dz = [(2)(2)(11) + (1)(3)(3) + (12)(1)(−1)] – [(3)(2)(12) + (−1)(3)(2) + (11)(1)(1)]

Dz = [44 + 9 – 12] − [72 − 6 + 11]

Dz = 41 − 77

Dz = −36

■ Menentukan nilai x, y, z

Setelah nilai D, Dx, Dy, dan Dz kita peroleh, langkah terakhir adalah menentukan nilai x, y, dan z menggunakan rumus berikut ini.

x	=	Dx	=	−27	=	3
		D		−9

y	=	Dy	=	−18	=	2
		D		−9

z	=	Dz	=	−36	=	4
		D		−9

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear 3 variabel di atas adalah HP = {(3, 2, 4)}